Bonjour,
Je n'ai pas vu ce type d'exercice en parcourant les discussions, j'espère ne pas faire doublon.
Énoncé :
"On considère les nombres :
x=(1+10^2007)/10^2007
y=10^2007/(1+10^2007)
Quel est de x ou de y, le nombre le plus près de 1 ?"
Pouvez-vous me dire si ma réflexion ci-dessous est correcte ou si une autre approche serait plus efficace ?
D'autant plus que je trouve la réflexion poussée pour un exercice de 4ème...
Ma réflexion :
L'idée est d'écrire x=1 +/- a et y=1 +/- b pour comparer l'écart à 1 de a et b :
J'étudie préalablement avec 10^2 et 10^3, ce qui permet d'extrapoler pour 10^2007.
Avec 10^2 :
x=(1 + 10^2)/10^2
x= 1/10^2 + 10^2/10^2 car (a+b)/c=a/c + b/c
x=10^-2 + 1
x=1 + 10^-2 (je change l'ordre juste pour une meilleure lecture)
y=10^2/(1+10^2)
y=100/101
y=0,99009901 pour voir l'écart à 1 je fais 1 - y = 0,0099009901 donc :
y=1 - 0,0099009901
y=1 - 9,99009901*10^-3 (on pourrait également aller plus vite en remarquant que y=1/x)
Or 9,99009901*10^-3 < 10^-2 (ordre de grandeur en 10^-3 < ordre de grandeur en 10^-2)
Donc y est plus proche de 1 que x.
Idem avec 10^3 :
x = 1 + 10^-3
y=1 - 9,99000999*10^-4
Or 9,99000999*10^-4 < 10^-3 (ordre de grandeur en 10^-4 < ordre de grandeur en 10^-3)
Donc y est plus proche de 1 que x.
J'en déduis la réflexion avec 10^2007 :
x=(1+10^2007)/10^2007
x= 1/10^2007 + 10^2007/10^2007
x= 10^-2007 + 1
x= 1 + 10^-2007 (je change l'ordre juste pour une meilleure lecture)
( pour info x=1,00000...1 avec 2007 chiffres après la virgule, cela va nous aider pour calculer y)
y=10^2007/(1+10^2007)
y=1/x (en effet on constate dans l'énoncé que y est l'inverse de x)
y= 1/1,00000...1
y=0,9999....0000....9999.... (2007 chiffres 9, 2007 chiffres 0, 2007 chiffres 9,... ma réflexion avec 10^2 et 10^3 permet d'affirmer cela)
y=1 - 0,0000.....9999.....0000....
y=1 - 9,9999...00000...9999... *10^-2008 (idem, ma réflexion précédente permet d'affirmer cela)
Or 9,9999...00000...9999... *10^-2008 < 10^-2007 (ordre de grandeur en 10^-2008 < ordre de grandeur en 10^-2007)
Donc y est plus proche de 1 que x.
Pensez-vous que cette réflexion correspond à ce qui est attendu d'un tel énoncé ?
Merci par avance pour vos réponses.