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DM : Récurrence avec factorielle

Posté par
g2g7532 29-10-20 à 17:16

Bonsoir à tous,
J'aurais besoin d'un peu d'aide car je bloque sur 2 questions en particulier de mon DM.
Voilà les questions :
Montrer que pour tout entier naturel k : $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$
Soit n un entier naturel. Calculer $\sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{2^{k-1}}$

Pour la première question, j'ai pensé à une récurrence, mais je ne trouve pas l'hérédité :
Initialisation :
pour k = 0 : $\dfrac{1}{1} \leq \dfrac{1}{2^{-1}}$ car $1 \leq 2$ donc la propriété est vraie au rang 0

Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang k avec k entier naturel quelconque, c'est à dire : $\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1}}$
Pour passer au rang k+1, j'ai multiplié par $\dfrac{1}{k+1}$ pour obtenir :
$\dfrac{1}{(k+1)!} \leq \dfrac{1}{2^{k-1} \times (k+1)}$
Mais je ne sais pas quoi faire ensuite...

Pour la deuxième question, j'ai pas bien compris ce qui était demandé, j'ai écris ceci :
$\sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{2^{k-1}} = \dfrac{1}{2^{0-1}} + \dfrac{1}{2^{1-1}} + \dfrac{1}{2^{2-1}} + \dots + \dfrac{1}{2^{n-1}} + \dfrac{1}{2^{n}}$
Mais je ne sais pas si ça répond à la question...

Merci d'avance pour votre aide,
Vincent

Posté par re : DM : Récurrence avec factorielle 29-10-20 à 17:33

bonsoir
pour k1, k+12 donc $\dfrac{1}{k+1} \leq \dfrac{1}2$ et le cas k=0 est évident

pour la seconde question, penser à la somme des termes d'une suite géométrique

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