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[DM] Réduction (et agrandissment) d'un triangle
Bonsoir,
Je dois faire un exercice dont je n'ai pas compris comment le faire, le voici :
FGK est un triangle isocèle en F tel que FG = 14 cm.
Soient H le pied de la hauteur issue de F, E un point du côté [FG] et D est un point du côté [FK] tels que les droites (ED) et (GK) soient parallèles et que ED mesure 12 cm.
(FH) coupe le segment [ED] en H' tel que FH' = 8 cm.
a) Calculer l'aire du triangle EFD.
b) Montrer que FED est une réduction du triangle FGK.
c) Calculer la longueur EF, puis en déduire le facteur de réduction sous forme fractionnaire.
d) Déterminer l'aire de GFK. Arrondir le résultat au dixième.
(Voir la figure faite à main levée)
Je suis arrivé à faire le a) :
A = (ED x FH')/2
A = (12 x 8)/2
A = 96/2
A = 46 cm²
L'aire du triangle EFD est de 46 cm²
Après... pour le b), je bloque... Si vous pourriez m'aider ! 
Merci d'avance de votre aide !
![[DM] Réduction (et agrandissment) d\'un triangle](img/forum_img/0234/forum_234695_1.jpg)
Bonjour,
Je suis arrivé à faire le a) :
A = (ED x FH')/2
A = (12 x 8)/2
A = 96/2
A = 46 cm²
L'aire du triangle EFD est de 46 cm²
A = 48 cm² serait préférable....
Pour le b) : puisque (ED)//(GK), les angles correspondants
FED est bien une réduction du triangle FGK.
Pour calculer EF utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle EFH'
Facteur de réduction = EF/FG
Pour calcule l'aire du triangle GFK : (EF/FG)²
Aire de EDFSalut,
Je te remercie beaucoup de ta réponse
Pour le 46 cm² oui ^^ erreur de recopiage 
c'est bien 48
Voilà la rédac en entière :
a) A = (ED x FH')/2
A = (12 x 8)/2
A = 96/2
A = 48 cm²
L'aire du triangle EFD est de 48 cm²
_____________________________________________________________
b) Puisque (ED) et (GK) sont parallèles, les angles correspondants \widehat{KGF} et \widehat{DEF} sont égaux ainsi que les angles correspondants \widehat{GKF} et \widehat{EDF} donc le triangle EDF est lui aussi isocèle et il a la même forme que le triangle GKF :
FED est bien une réduction du triangle FGK.
_____________________________________________________________
c) Pour calculer EF, il nous faut utiliser le théorème de Pythagore.
Sachant que ED = EH' + H'D puisque la droite (FH) coupe en deux parties égales le segment [ED].
D'après le théorème de Pythagore, on a :
EF² = EH'² + H'F²
EF² = 6² + 8²
EF² = 36 + 64
EF² = 100
EF = \sqrt{100}
EF = 10 cm
EF mesure 10 cm.
Donc le facteur de réduction est \frac{EF}{FG}, soit \frac{10}{14}
Eum... sinon, pour le d), je crois qu'il y a une petit problème...
le triangle EFD à une aire de 48 cm²
et avec ton calcul : ((EF/FG)²) x Aire de EDF
((10/14)²) x 48
[url=http://www.google.fr/search?q=((10%2F14)^2)*48]Je trouve[/url] environ 24,5 cm²
Mais GFK est plus grand que EFD ! donc logiquement ont devrai trouver quelque chose supérieur à 48 non ?
Merci beaucoup !
Bonsoir,
Tu as raison il y a un tout petit problème facile à corriger :
Le rapport de réduction que tu as calculé est bon, mais il permet de passer de l'aire du triangle FGK à celle du triangle FED, or tu veux faire l'inverse. Il faut donc diviser l'aire de FED par ce rapport et tu auras un résultat qui te satisfera tout à fait.
Bien vu, j'ai fait une erreur dans le d)...
Pour démontrer que FED est une réduction de FGK, tu peux aussi le faire en disant que :
(puisque (ED)//(GK), d'après le théorème de Thalès
ce qui signifie que les côtés du triangle FED sont proportionnels à ceux du triangle FGK et de plus le triangle FED est isocèle de sommet F car FGK est isocèle de sommet F.
pour le c), avant de faire le calcul, il te faut expliquer que H' est le milieu de [ED] car le triangle FED est isocèle de sommet F et (FH') en est la hauteur issue de F puisque (ED)//(GK) et (FH) (GK)
le rapport est (n'oublie pas de simplifier..)
pour le d)
je voulais écrire
Aire FED = ((EF/FG)²) x Aire de FGK soit
48 = Aire FGK
48 = Aire FGK
donc
Aire FGK =
Aire FGK = 94,1 cm² arrondi au dixième
Ok, c'est bien se qui me semblais
Donc voilà la rédac complète ? RAS ?
a) A = (ED x FH')/2
A = (12 x 8)/2
A = 96/2
A = 48 cm²
L'aire du triangle EFD est de 48 cm²
_____________________________________________________________
b) Puisque (ED) et (GK) sont parallèles, les angles correspondants
FED est bien une réduction du triangle FGK.
_____________________________________________________________
c) Pour calculer EF, il nous faut utiliser le théorème de Pythagore.
Sachant que H' est le milieu de [ED] car le triangle FED est isocèle de sommet F et (FH') en est la hauteur issue de F puisque (ED) est parallèle à (GK) et (FH) perpendiculaire à (GK).
D'après le théorème de Pythagore, on a :
EF² = EH'² + H'F²
EF² = 6² + 8²
EF² = 36 + 64
EF² = 100
EF =
EF = 10 cm
EF mesure 10 cm.
Donc le facteur de réduction est
_____________________________________________________________
d) Aire FED = ((EF/FG)²) x Aire de FGK soit
48 =
48 =
donc
Aire FGK =
Aire FGK = 94,1 cm² arrondi au dixième
Voilà, je pense que c'est bon comme ça non ?
Merci beaucoup de votre patience
Bonjour,
oui, c'est bon
pour ce qui est de la rédaction, si j'étais à ta place, je la personnaliserais davantage avec des "je", n'oublie pas que c'est toi qui rédige...
Je mettrais, pour la c)
"Pour calculer EF, je vais utiliser le théorème de Pythagore, pour cela je dois calculer EH'.
H' est le milieu de [ED], en effet, le triangle FED est isocèle de sommet F et (FH') en est la hauteur issue de F puisque (ED) est parallèle à (GK) et (FH) perpendiculaire à (GK) or "dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiatrice de la base" donc H' est bien le milieu de [ED].
.........
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