Bonjour,

je pense que la question est que il n'y a pas d'autres solutions "entre" les 9 trouvées en 2c (2b demande de s'arrêter à 9 solutions)

parce que effectivement il y a une infinité de solutions dans tout entier
mais cette question (en déduire) est foireuse parce que avec la matrice

on aurait exactement les mêmes résultats qualitatifs que ceux demandés en 2a, 2b 2c, 3a (mais pas les mêmes solutions)
mais il manquerait des solutions, puisque cette matrice (le carré de la matrice donnée) ne donnera que une solution sur deux !
"en déduire que ça donne toutes les solutions" serait donc faux !
il faut ajouter une preuve que c'est "la plus petite matrice" pour ainsi dire
et que il n'y aurait pas de solution "imbriquées"

un contre exemple pour illustrer que ce n'est pas si simple !
avec une équation du même genre :

x² - 7y² = 9

les conclusions de 2a, 2b, 2c, 3a sont les mêmes (en partant de l'évidente (3, 0))
la matrice est d'ailleurs la même


mais si on se contente de partir de x = 3, y = 0 on est loin d'obtenir toutes les solutions !
ni (4, 1), ni (11, 4) ne sont obtenues par ce procédé et l'ensemble des solutions est constitué des trois familles :
celle qui part de (3, 0), celle qui part de (4, 1) et celle qui part de (11, 4)

la question 4 est adorable à ce niveau terminale
tu peux toujours "essayer" mais il faudra trouver les coefficient de la matrice (coefficients qui sont donnés sans explications dans l'énoncé pour le cas a = 7)

c'est à dire par exemple avec a = 61, pas si grand que ça :


ça ne s'invente pas !! j'ai triché : il y a un logiciel en ligne pour faire ça, voire des logiciels "généralistes"
en plus cet exemple est célèbre, c'était une colle posée par Fermat à Frenicle à une époque où on n'imaginait même pas qu'il pourrait y avoir des ordinateurs dans l'avenir)

demander en exo de réinventer la théorie des équations de Pell-Fermat, il est gonflé le prof ...
d'accord pour les questions juqu'à la 3a incluse
mais la 3b et la 4 c'est du bourrage de mou.
sans des études sérieuses de l'ensemble et de ses unités, etc

Merci pour ta réponse mathafou. Je te connais, tu m'avais déjà aidé dans un autre topic.

Bref, je t'avoue que tu m'as un peu perdu avec toutes ces explications et je ne sais pas vraiment quoi répondre à mes questions ^^

Pour la 4 je pensais justement à savoir comment avoir cette matrice que le prof nous a donné pour a=7. Et ainsi on aura une gente de généralisation, mais je sais pas comment trouver les coefficients.

Et pour la 3b, je reste buté sur mon raisonnement. Pour moi, il y a une infinité de réponses. Grâce au 2)c) on peut faire le même calcul une infinité de fois jusqu'à à arriver aux limites de la machine qu'on utilise. Donc en déduire que ces 9 couples sont les seules solutions me frustrent un peu .. 😕
En tout cas je te remercie beaucoup de ton aide !

la question 3b est comme le montre mes contre exemples une question à mettre à la poubelle

la seule réponse à cette question est :
il y a une infinité de solutions dans
et dans l'intervalle 0 < y < la plus grande des neuf que tu as trouvées en 2c il n'y a que ces 9 solutions (c'est ça la vraie question 3b)
mais on ne peut pas le prouver autrement que en refaisant la question 1c avec une borne maxi = la plus grande des solutions trouvées en 2c (bon courage : plus de 12 milliards d'itérations) c'est à dire par force brute

ou par des considérations sur la matrice M et sur les solutions en général qui ne sont absolument pas évoquées dans aucune des questions de l'énoncé.
(voir la question 4)

4) pour calculer la matrice M à partir de rien il faut comme je te l'ai dit inventer par soi même (où pomper sur Internet) la théorie complète de ces équations dites "de Pell - Fermat".

Bonjour,

pour la 3b à mon avis on peut utiliser le théorème suivant:
Soit A une matrice carrée d'ordre n , et soient X et Y deux matrices-colonnes
d'ordre n . Si A est inversible, alors le système AX = Y admet une solution unique, donnée
par : X = A^(−1) Y .

l'application associée à cette matrice est bijective!  

après je rejoins mathafou par rapport à la question 3b) " c'est du bourrage de mou comme il dit!!"

message perdu par "délai de réponse dépassé" et j'ai la flemme de retaper
de toute façon en l'essence je répétais ce que j'ai deja dit.

il y a bien une bijectivité entre les 9 solutions déja trouvées et ça ne prouve rigoureusement rien du tout sur l'existence ou pas d'autres solutions dans les "trous" entre ces 9 solutions, tout au moins avec ce qui est défini et ce qui est demandé ici.

salut

je suivais de loin ...

Je vous remercie tous les 2 pour vos réponses, je pense que je vais bafouiller un peu les arguments de mathafou.
Merci encore !

de rien