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Niveau terminale
DM Spé maths Matrice et proba
Posté par Dreamyy
Bonjour à vous, je suis actuellement en vacances et j'ai un DM de spé maths à réaliser pour la rentrée. Cependant, je ne comprends pas vraiment comment je dois m'y prendre.
J'espère que vous pourrez m'aider. Merci d'avance.
Voici l'énoncé :
Problème n°1 :
Un système a deux états, notés P et Q.
La probabilité que le système soit dans un de ces états, à l'instant n, est notée pn et qn, avec pn + qn = 1
Description probabiliste de l'évolution du système
1/ De l'instant n à l'instant n+1, la probabilité de passer de l'état P à l'état Q est égale à a (avec 0<a<1).
De l'instant n à l'instant n+1, la probabilité de passer de l'état Q à l'état P est égale à b (avec 0<b<1).
Sinon, le système reste dans le même état.
On note l'état probable du système à l'instant n : En = (pn qn)
Justifier que En+1 = EnT , où T =
Ma réponse : j'ai calculé la matrice En+1, mais je trouve quelque chose de bizarre ...
En+1 = ( pn - apn + bqn apn + qn -bqn)
lake Ouii mercii, je viens de le voir juste avant en faisant un arbre x)
Mais là je bloque sur autre chose :
On pote N =
et R =
2/ Vérifier que T = N+ (1-a-b)R
Comment peut-on multiplier sur (1-a-b)R ?
3/ Vérifier que N² = N et que R² = R fait
4/ Vérifier que NR = RN = 0 fait
5/ En déduire T², puis la forme successives de Tn, puis la limite de Tn quand n tend vers l'infini.
Et là je coince un peu :
T² = (N+(1-a-b)R)² = N² + 2N(1-a-b)R + (1-a-b)²R² = N + 0 + (1-a-b)²R
Est-ce que c'est juste ? Je ne sais pas si 2N(1-a-b)R = 0. Est-ce commutatif ?
Et après faut-il développer (1-a-b)² ? Ce qui paraît assez long ...
Merci d'avance
lake
Je te remercie beaucoup lake pour ta gentillesse !
Mais juste quand on me demande en déduire T², il faut juste laisser sous la forme que tu as dis ? Sans développer ?
Et pour la limite : la limite de Tn dépendra de (1-a-b)n ?
Mais la limite de (1-a-b)n n'est pas 0 ? donc la limite de Tn est N ? ou ce que je raconte est faux ?
Cool !! Merci encore !
donc la limite de T quand n tend vers + l'infini est N ^^
Et donc la fin du problème dit :
Retour au problème initial
6/ démontrer que, quel que soit l'état initial du système, son état probable final est toujours le même, et préciser cet état probable. On pourra par exemple partir de différentes valeurs simples de E0 = ( p0 q0)
Mais donc la l'état final c'est la matrice N. Mais à quoi servent les "différentes valeurs". E0 = ( p0 q0)
Juste je ne comprends pas l'avant dernière étape de calcul, pourquoi enlèves-tu (p0 + q0) dans les 2 coefficient ? 
