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DM Spé maths : nombres parfaits

Posté par
MachineV5 22-10-17 à 21:29

Bonjour à tous, je ne comprends pas très bien un DM que je dois faire en maths spé :

Alors voici l'énoncé :

Rappel : on est invité, dans tout le problème, à utiliser la formule : \sum_{i=0}^{i=p}{A^i} =\frac{A^i^+^1 - 1}{(A-1)}
   (valable pour tout réel A différent de zéro et de un)

Notation : pour tout entier N, non nul, on note s(N) la somme de tous les diviseurs de N (1 et N compris)

Définition : on appelle nombres parfaits les entiers tels que s(N) = 2N

1] Calculer s(6) ; s(12) ; s(16) ; s(24) ; s(28)

C'est fait, j'ai trouvé que 6 et 28 étaient parfaits.

2] Soit p un entier tel que 2^p^+^1 - 1  soit premier.
Vérifier que 2^p (2^p^+^1 -1) est parfait.

C'est fait.

Pour cette question j'ai fait :

Les diviseurs de 2^p(2^p^+^1-1) sont : 1,2,2^0, 2^1, 2^2, ... , 2^p, 2^p^+^1-1,
, ..., 2(2^p^+^1-1), ..., 2^p(2^p^+^1 -1)

On pose p = 2^p^+^1-1

donc on obtient :

\frac{1-2^p^+^1}{1-2} + p(1+2 +2^2 + ... + 2^p)


= 2^p^+^1-1 + p * \frac{1-2^p^+^1}{1-2}


= p + p*2^p^+^1-1


= p  (1+2^p^+^1 -1)   =    p2^p^+^1= p2^p * 2


= 2(2^p(2^p^+^1-1))


3] Soit A un nombre premier impair, et p un entier non nul.
Vérifier que 2^p A est parfait si et seulement si A = (2^p^+^1 -1)

Je suis bloqué, que dois-je faire pour réussir cela ?


4] Soit B un nombre premier impair,  non premier, et k son plus grand diviseur autre que B.
Soit n un entier non nul.

On pose C = 2^n B.

a)   Montrer que s(C) = (2^n^+^1-1)s(B).

Je ne comprends pas non plus

Pouvez-vous m'aider merci d'avance

Posté par
ThierryPomare : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:16

Bonsoir,

Ton rappel est faux !

2) J'avoue ne pas comprendre ton raisonnement pour le 2), sauf pour les diviseurs. Partant, l'on a visiblement, vu que p est tel que 2^{p+1}-1 est premier,

\sum_{i=0}^p2^i+\sum_{i=0}^p2^i\,(2^{p+1}-1)=(2^{p+1}-1)+(2^{p+1}-1)^2=2^{p+1}\,(2^{p+1}-1)=2\times2^{p}\,(2^{p+1}-1)

3) Un sens est évident. Comme A est premier distinct de 2 et que 1, 2, ..., 2^p, A, ..., 2^p\,A sont tous les diviseurs de B, alors

\sum_{i=0}^p2^i+\sum_{i=0}^p2^i\,A=(2^{p+1}-1)+(2^{p+1}-1)\,A

Supposons alors 2^p\,A parfait. Alors,

(2^{p+1}-1)+(2^{p+1}-1)\,A=2^{p+1}\,A

d'où

A=2^{p+1}-1

comme attendu.

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:27

Ah oui excuse moi le rappel est :

\sum_{i=0}^{i=p}{\frac{A^p^+^1}{A-1}}

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:31

Juste je ne comprends pas très bien pour la question 3] tu me parles de B mais il n'y a pas de B

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:47

ThierryPoma @ 22-10-2017 à 22:16

Bonsoir,



2) J'avoue ne pas comprendre ton raisonnement pour le 2), sauf pour les diviseurs. Partant, l'on a visiblement, vu que p est tel que 2^{p+1}-1 est premier,

\sum_{i=0}^p2^i+\sum_{i=0}^p2^i\,(2^{p+1}-1)=(2^{p+1}-1)+(2^{p+1}-1)^2=2^{p+1}\,(2^{p+1}-1)=2\times2^{p}\,(2^{p+1}-1)



Je ne comprends pas pourquoi la somme de  2^i (2^p^+^1-1) = (2^p^+^1-1)²

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:51

Ah noooooooon c'est bon mdrr j'ai compris x) ^^

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 22:54

ThierryPoma @ 22-10-2017 à 22:16

Bonsoir,

Ton rappel est faux !

2) J'avoue ne pas comprendre ton raisonnement pour le 2), sauf pour les diviseurs. Partant, l'on a visiblement, vu que p est tel que 2^{p+1}-1 est premier,

(2^{p+1}-1)+(2^{p+1}-1)^2=2^{p+1}\,(2^{p+1}-1)=2\times2^{p}\,(2^{p+1}-1)

.


C'est ici que je ne comprends pas comment passes-tu à l'autre terme

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 22-10-17 à 23:09

Ok donc encore désolé du spam mais je viens de comprendre :/

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 00:15

Je ne comprends pas la question 3]

Posté par
Cherchellre : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 08:41

Ta question 4 est incompréhensible si B est un nombre premier, quel est le terme non premier ?  que vient faire k ?

pour la question 3 :
A est un nombre premier donc les diviseurs de n sont 1 ; 2 ; … 2 p ; A ; 2 A ; … 2 p A
s(2 p A) = = \;(\;{\rm{A}}\; + \;1)\;\sum\limits_{k\; = \;0}^p {\;{2^{\;k}}} \; = \;(\;{\rm{A}}\; + \;1\,)\;\frac{{{2^{\;p\; + \;1}}\; - \;1}}{{2\; - \;1}}\; = \;(\;{\rm{A}}\; + \;1\,)\;({2^{\;p\; + \;1}}\; - \;1\,)

= \sum\limits_{k\; = \;0}^p {\;{2^{\;k}}\; + \;} \sum\limits_{k\; = \;0}^p {\;{2^{\;k}}\;{\rm{A}}} \; = \;\sum\limits_{k\; = \;0}^p {\;{2^{\;k}}\; + \;} \;{\rm{A}}\;\sum\limits_{k\; = \;0}^p {\;{2^{\;k}}}

s(2 p A ) = 2 2 p A (A + 1) (2 p + 1 - 1) = 2 2 p A A (2 p + 1 - 1) + (2 p + 1 - 1) = 2 p + 1 A 2 p + 1 - 1 = A
2 p A est parfait si et seulement si A = 2 p + 1 - 1.

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 10:53

Pour la question 4, moi aussi je ne comprends pas ...

Il y a écrit :

4/ Soit B un nombre impair, non premier et k son plus grand diviseur autre que B. Soit n un entier non nul.
On pose C =2^nB

a/ Montrer que s(C) = (2^n^+^1-1)s(B)


Juste j'aurais une question :

je ne comprends pas pourquoi dans la 2, on met :

\sum_{i=0}^{p}{2^i} + \sum_{i=0}^{p}{2^i (2^p^+^1-1)}

Je comprends pas la première somme (elle vient du 2^p dans  2^p(2^p^+^1-1) mais l'autre somme je ne comprends pas ...

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 10:55

deuxième somme*

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 11:05

Et juste pour la question 3, on dit que A est un nombre premier impair ça ne change rien pour ce que tu m'as dis ?

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 11:29

Ok donc je viens de comprendre pour les 2 sommes. J'ai simplement écris les diviseurs et j'ai compris. Merci et désolé :/

Ma question est à propos de la question 3 :

je ne comprends pas les 2 dernières lignes  de Cherchell :

Cherchell @ 23-10-2017 à 08:41

s(2 p A ) = 2 2 p A (A + 1) (2 p + 1 - 1) = 2 2 p A A (2 p + 1 - 1) + (2 p + 1 - 1) = 2 p + 1 A 2 p + 1 - 1 = A
2 p A est parfait si et seulement si A = 2 p + 1 - 1.


A (2 p + 1 - 1) + (2 p + 1 - 1) = 2 p + 1 A

Pourrais-tu m'expliquer cela ? Merci encore pour tous ce qui m'aide ... de prendre du temps pour m'aider etc ... un grand merci <3

Posté par
Cherchellre : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 12:55

C'est juste une équation en A, tu développes et tu résous

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 17:00

(2^p^+^1-1) +(2^p^+^1-1)A = 2^p^+^1A-A +2^p^+^1-1

mais après comment tu trouves le 2^p^+^1 A

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 18:51

Ok non c'est bon j'ai compris merci beaucoup

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 23-10-17 à 23:24

Désolé de poser encore des questions mais je ne comprends pas cette question ^^ : alors

toujours dans la suite,

4/ b/ Montrer que C est parfait si et seulement si B = (s(B) -B)(2^n^+^1-1),
ce qui implique que (s(B)) - B) est un diviseur de B.

Dois-je faire comme dans la question 3 ?

Posté par
flightre : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 10:44

salut

je vois pas l'interet du role de "k" pour B  ....

les diviseurs de B sont  ao,a1,a2,.....aj    et ceux de 2n sont (20,21,2²,.........,2n).

les diviseurs de 2n*B sont ao*20, ao*21,..jusqu'a
aj*2n    leur somme S(C)  vaut donc

S(C) =( ai)*2k  pour k compris entre 0 et n

or , 2k  pour k compris entre 0 et n = (1-  2n+1)/(1-2) = 2n+1 -1

donc  S(C)= (2n+1 -1) ( ai)=(2n+1 -1) S(B)

Posté par
Cherchellre : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 12:45

Tu peux regarder ici : (clique sur la maison, j'ai mis une correction.

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 21:23

Merci énormément Cherchell, un grand merci

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 21:24

Mais juste une dernière question :  pour la question 4/ c. on me demande de :

Comparer s(B)-B et k, et en déduire que C ne peut jamais être un nombre parfait.

s(B)-B > k

mais après pour la 2ème partie je fais comment ? :/

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 22:31

B < s(B) - B < k

or k est le plus grand diviseur que B.  donc s(B) - B n'est pas un diviseur de B

et comme on a prouvé dans la question précédente que C est parfait ssi B = (s(B)-B)(2^n^+^1-1)

donc C ne peut jamais être un nombre parfait.


C'est juste ? En tout cas merci beaucoup Cherchell.


5/ a. Conclure avec une phrase qui commence par "les nombres parfaits pairs sont ..."

Les nombres parfaits pairs sont des nombres dont la somme de leur diviseur est égal à 2 fois ce nombre. De plus, il faut que la somme de ces diviseurs se finisse par 0,2,4,6,8.

C'est juste ? ou c'est trop scolaire ? Faut-il écrire autre chose

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 24-10-17 à 23:22

B > s(B) - B > k *

Posté par
MachineV5re : DM Spé maths : nombres parfaits 27-10-17 à 11:07

s(B) - B > k*  


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