bonjour,

j'ai un soucis avec mon DM à rendre le ***.

voici le sujet:

"On rappelle qu'un nombre de Fermat est un nombre de la forme ₂2ⁿ (j'ai mis le premier 2 en indice pour faire l'empilement de puissance), avec n , noté F_n.

L'objectif de cet exercice est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

1. Démontrer que pour tout n on a: F_n+1=(F_n-1)²+1.

Ici c'est assez simple, pas vraiment de grande difficulté, on arrive facilement au résultat.

2. pour tout entier naturel n on note: P_n=F₀*F₁*F₂*....*F_n.
Montrer par récurrence et en utilisant le résultat précédent que pour tout entier naturel n non nul on a: P_n-1=F_n-2.

petite récurrence pas très difficile non plus...

3. justifier que, pour tout entier naturels n et m tels que n>m, il existe un entier naturel q tel que F_n-qF_m=2.

là je vois pas trop...

4. en déduire que deux nombres de Fermat distincts sont toujours premiers entre eux.

en prenant le résultat de la question 3. pour vrai,

cela veut dire que 2 est multiple de PGCD(F_n;F_m)

alors il y a 2 PGCD possibles: 1 et 2.

on élimine 2 puisque aucun des nombres de Fermat ne sont pairs, ils ne peuvent donc pas être divisés par 2.

donc si PGCD(F_n;F_m)=1 alors F_n et F_m sont premiers entre eux. ainsi on peut affirmer que tout nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

voila mais du coup la 3 me pose problème... help