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DM spécialité- matrice
Bonjour,
voici mon DM de spécialité maths :
Une matrice carrée A d'ordre n st diagonalisable si et seulement si il existe deux matrices carrées d'ordre n, D et P, telles que D soit une matrice diagonale, P soit inversible et A = PDP(puissance -1) .
Soit les matrices A= (1 2 2 et P = (1 2 3
-4 5 8 -1 0 2
1 0 0) 1 1 1)
questions:
1) a- Vérifier que la matrice P est inversible et calculer P(puissance-1).
b- On pose D=P(puissance -1)AP. Vérifier que D est une matrice diagonale.
c- Donner l'expression de A en fonction de P, D, et P (puissance-1). Que peut on dire de la matrice A ?
2) Exprimer A au carrée , puis A au cube en fonction de P,D et P(puissance -1).
3) Soit n un entier naturel non nul. Déterminer l'expression de An en fonction de P, D, P(puissance-1)et n.
4) On admet que Dn est une matrice diagonale dont les coefficients sont obtenus en élevant à la puissance n les coefficient de D. Déterminer les coefficient de An en fonction de n.
Voici l'exercice , j'ai réussi le début, merci de bien vouloir m'aider pour les questions 1-c, 3 et 4.
merci
Bonjour,
1c) Tu as trouvé d'après la question 1b) : .
Donc :
(j'ai multiplié par P à gauche et par P^(-1) à droite)
=> (car PP^(-1) = P^(-1)P = I3)
On dit alors que la matrice A est diagonalisable.
Mais Qu'as_tu trouvé pour A² et A^3 dans la question 2 ?
Ceci peut te permettre d'avoir une idée sur l'expression de A^n.
Pour A 2 = (-5 12 18 et A 3 =( -35 50 86
-16 17 32 -52 53 104
1 2 2) -5 12 18)
Faut remplacer les chiffres par n ?
On ne te demande pas de calculer A² et A^3 !!
On te demande d'exprimer A² et A^3 en fonction de P,D et P-1 !!
Tu connais A=PDP-1.
Donc : A² = PDP-1*PDP-1 = PD²P-1 (car P-1P = I3)
Fais de même pour A^3.
Alors pour A3= PDP(-1) x PDP(-1) x PDP(-1) = PD(3)P(-1) ?
Donc pour n sa serait la même chose sauf que a la place du 3 c 'est n ?
Oui en effet on trouve bien : A3 = PD3P-1.
De façon générale, on pourra démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : An=PDnP-1.
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