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[DM] Suites et parabole
Bonjour, j'ai un DM sur les suites à faire, j'ai réussi le premier exercice mais je bloque à la deuxième partie du second exercice.
Voilà le sujet :
Le créateur de parfum décide de commercialiser son nouveau produit dans des flacons ayant la forme suivante :![[DM] Suites et parabole](img/forum_img/0621/forum_621368_1.JPG)
Cette forme, appelée paraboloïde, est obtenue par rotation de la parabole d'équation y=x² autour de l'axe des ordonnées. Les unités sont exprimées en cm.
Le créateur souhaite calculer le volume V, en cm^3, de ce flacon
1. Un cas particulier : n=4
![[DM] Suites et parabole](img/forum_img/0621/forum_621368_2.JPG)
Pour estimer la valeur V, le créateur découpe l'intervalle [0;4] de l'axe des ordonnées en 4 segments de même longueur.
Il obtient donc des rectangles "intérieurs" et "extérieurs" à la parabole, puis, par rotation autour de l'axe des ordonnées des cylindres.
a) Justifier que les rayons des cylindres blanc sont respectivement égaux à 
4 3 2 et 1
b) Montrer que 6
V10
2. Cas général: n quelconque
Pour n, nombre entier naturel non nul, on découpe l'invertalle [0;4] en n segments de même longueur afin de généraliser la construction précédente.
On note Un (resp. Vn) la somme des aires des cylindres "intérieurs" (resp. "extérieur" )
a) Montrer que, pour tout n
1
Un = (16/n²)*(1+2+3+...+(n-1)) et Vn= (16/n²)*(1+2+3+...n)
b) En déduire que pour tout n1 Un = (16*(n-1))/2n et Vn=(16*(n+1))/2n
c) Quelle est le volume V du flacon ?
Je suis donc bloqué à la question 2 et je ne sais vraiment pas quoi faire.
Merci d'avance pour vôtre aide.
Bonjour,
Les points sur l'axe des ordonnées ont pour ordonnées 0 , 4/n , 8/n , 12/n , ... , 4k/n , ... , 4(n-1)/n , 4n/n . La distance entre deux points consécutifs est 4/n .
Le point d'ordonnée 4k/n à droite sur la parabole a pour abscisse x = (4k/n) = 2(k/n) .
C'est le rayon du disque obtenu par rotation ; ce disque a donc pour aire 
x2 = 4
(k/n) .
Je te laisse essayer de continuer.
Merci de m'avoir répondu, j'ai pas tout compris mais il faut que je trouve une formule qui relie l'aire du disque à l'aire du cylindre c'est ça ?
L'aire d'un cylindre est égale à Bh où B est l'aire de la base et h la hauteur.
Comment as-tu traité 1)b) sans utiliser cette formule ?
Si mais elle était pas de cette forme, h=4 donc V(cylindre)=16x(k/n).
Mais dans l'énoncé Un=(16/n²)*(1+2+3+...+(n-1)) et là il y a pas de carré ?
Dans 1), il y a 3 cylindres roses ; la hauteur de chacun est 1.
Le plus petit a pour rayon 1 , celui du milieu a pour rayon 2 , et le plus grand a pour rayon 3 .
Leurs volumes s'obtiennent avec r2 car la hauteur est 1.
Quand on ajoute les volumes des trois cylindres, on trouve + 2 + 3 .
Pour les 4 cylindres blancs, les rayons sont donnés par a) et la somme des volumes est + 2 + 3 + 4 .
Le volume V est compris entre ces deux sommes.
Tu ne peux pas trouver ou comprendre 2) si tu n'as pas bien compris 1).
Par exemple, pourquoi le cylindre rose du milieu a pour rayon 2 :
Soit M le point d'ordonnée 2 sur la partie droite de la parabole. Ses coordonnées vérifient l'équation y = x2 . y=2 et x>0 donc x =...
Regarde mon message d'hier.
Volume d'un cylindre de hauteur 4/n et de base circulaire d'aire 4(k/n) : 16(k/n2)
Oui. En fait les cylindres blancs sont identiques aux cylindres roses, sauf le dernier. Si tu imagines décaler les cylindres blancs d'un cran vers le haut, ils viennent coïncider avec les roses.
Pour la 2)b) il faut utiliser la formule de la somme des entiers consécutifs jusqu'à n et n-1, non ?
J'ai calculé lim Un et lim Vn comme le volume du flacon est compris entre ces 2 valeurs et j'ai trouvé que lim Un = lim Vn = V(flacon) = 8. C'est bien ça ?
Bonjour, j'ai un DM sur les suites à faire, j'ai réussi le premier exercice mais je bloque à la deuxième partie du second exercice.
Voilà le sujet :
Le créateur de parfum décide de commercialiser son nouveau produit dans des flacons ayant la forme suivante :
Cette forme, appelée paraboloïde, est obtenue par rotation de la parabole d'équation y=x² autour de l'axe des ordonnées. Les unités sont exprimées en cm.
Le créateur souhaite calculer le volume V, en cm^3, de ce flacon
1. Un cas particulier : n=4
Pour estimer la valeur V, le créateur découpe l'intervalle [0;4] de l'axe des ordonnées en 4 segments de même longueur.
Il obtient donc des rectangles "intérieurs" et "extérieurs" à la parabole, puis, par rotation autour de l'axe des ordonnées des cylindres.
a) Justifier que les rayons des cylindres blanc sont respectivement égaux à
4 3 2 et 1
b) Montrer que 6
V10
2. Cas général: n quelconque
Pour n, nombre entier naturel non nul, on découpe l'invertalle [0;4] en n segments de même longueur afin de généraliser la construction précédente.
On note Un (resp. Vn) la somme des aires des cylindres "intérieurs" (resp. "extérieur" )
a) Montrer que, pour tout n
1
Un = (16
/n²)*(1+2+3+...+(n-1)) et Vn= (16/n²)*(1+2+3+...n)
b) En déduire que pour tout n
1 Un = (16*(n-1))/2n et Vn=(16*(n+1))/2n
c) Quelle est le volume V du flacon ?
Je suis donc bloqué à la question 2 et je ne sais vraiment pas quoi faire.
Merci d'avance pour vôtre aide.
BONJOUR,
j'ai le même sujet mais on me demande à la première question de donner un encadrement de V. Je bloque et je ne comprend pas vos explications.
J'AURAIS BESOINS D'AIDE S'IL VOUS PLAIT !!!
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