salut
merci de nous dire ce que tu as fais déjà.....

1)

1/(x+n) - 1/n = (n-x-n)/(n(x+n)) = -x/(n(x+n)) <= 0 (puisque x >= 0 et dénomimateur >0)

1/(x+n) <= 1/n     (1)
---
1/n - x/n² - 1/(x+n)
= (n(x+n)-x(x+n)-n²)/(n²(x+n))
= (nx+n²-x²-nx-n²)/(n²(x+n))
= - x²/(n²(x+n)) <= 0

1/n - x/n² - 1/(x+n) <= 0
1/n - x/n² <=  1/(x+n)    (2)
---
(1) et (2)
1/n - x/n² <=  1/(x+n) <= 1/n
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2)
a)

I = [ln|x+n|] de0à1
I = ln(n+1) - ln(n)
I = ln((n+1)/n)
---
b)

1/n - x/n² <=  1/(x+n) <= 1/n

Aµvec S pour le signe intégrale:

S(de0à1) (1/n - x/n²) dx <=  S(de0à1) (1/(x+n)) dx <= S(de0à1) (1/n) dx

[x/n - x²/(2n²)]de 0 à 1 <= ln((n+1)/n) <= [x/n] de 0 à 1

1/n - 1/(2n²) <= ln((n+1)/n) <= 1/n
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3)

U(n+1) - U(n) = 1/(n+1) - ln(n+1) + ln(n)
U(n+1) - U(n) = 1/(n+1) - ln((n+1)/n)

1/n - 1/(2n²) <= ln((n+1)/n)
(2n-1)/(2n²)  <= ln((n+1)/n)

(2n-1)/(2n²) - 1/(n+1) = ((2n-1)(n+1)-2n²)/(2n²(n+1))
(2n-1)/(2n²) - 1/(n+1) = (2n²+2n-n-1-2n²)/(2n²(n+1))
(2n-1)/(2n²) - 1/(n+1) = (n-1)/(2n²(n+1))
(2n-1)/(2n²) - 1/(n+1) >= 0
(2n-1)/(2n²) >= 1/(n+1)

U(n+1) - U(n) <= (2n-1)/(2n²) - ln((n+1)/n)
U(n+1) - U(n) <= 1/n - 1/(2n²) - ln((n+1)/n)

et comme 1/n - 1/(2n²) <= ln((n+1)/n)
1/n - 1/(2n²) - ln((n+1)/n) <= 0  -->

U(n+1) - U(n) <= 0
U(n+1) <= U(n)

La suite U est décroissante.
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4)

V(n+1) - V(n) = 1/(n+1) - ln(n+2) + ln(n+1)
V(n+1) - V(n) = 1/(n+1) - ln((n+2)/(n+1))

et en posant n+1 = m
V(n+1) - V(n) = 1/m - ln((m+1)/m)

Or (point 1b)
ln((m+1)/m) <= 1/m
1/m - ln((m+1)/m) >= 0

V(n+1) - V(n) >= 0
V(n+1) >=  V(n)

La suite V est croissante.
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5)
U(n) - V(n) = -ln(n) + ln(n+1) = ln((n+1)/n)
U(n) - V(n) > 0
U(n) > V(n)

lim(n-> oo) [U(n) - V(n)] = ln(1) = 0


On a donc:
La suite U est décroissante.
La suite V est croissante.
U(n) > V(n) pour tout n de N*
lim(n-> oo) [U(n) - V(n)] = 0

Les suites U et V sont donc adjacentes.
Par là, elles convergent vers une même limite gamma.

On trouve gamma = 0,57 à moins de 10^-2 près.
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Sauf erreurs ou distraction.