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DM Suites et Recurrence
Soit Un la suite définie par Uo=2 et pour tout n appartenant à 
, U(n+1)=(Un+2)/(2Un +1)
1) Montrer par récurrence que 0 
Un2 pour tout n entier naturel
ici j'ai du mal en ce qui concerne la démonstration de l'heredité
2) Montrer que U(n+1)= (-Un+1)/(2Un+1) pour tout entier naturel n
ici tout va bien
3) Montrer par récurrence que : Pour tout n appartenant à , Un-1 a le même signe que (-1)^n
ici pareil, pour la démonstration de l'hérédité je ne sais pas comment faire
Merci d'avance
Bonsoir, il te faut donc montrer que
Tu pars de l'encadrement
(supposé vrai )
Pour retrouver l'expression de définie plus haut .
Bonsoir tout le monde
Pour faire la différence entre Un + 2 et Un+2, il faut utiliser les possibilités de ce forum :
Oui c'est vrai JFF bonsoir , j'ai pas eu du mal à me retrouver car ses expressions comportent des parenthèses du coup j'ai pu faire la différence tranquillement.
Toutes fois c'est bien d'apprendre comment bien écrire sur le forum 
Bonjour,
Pour l'hérédité dans 1), je conseille d'utiliser une méthode qui fonctionne très souvent quand on veut démontrer une inégalité du type A
B :
Transformer B-A
et démontrer que
B-A
est positif ou nul.
Ici, ça donne transformer 2-un+1 .
Bonsoir
Pour l'hérédité,
On va supposer quoi?
Pour l'hérédité du 1) j'ai deux techniques différentes a proposer, sont-elles correctes ?
-Soit
Je pars de l'inégalité 0
Un2
Que je transforme pour arriver à Un+1
j'ajoute d'abord 2 j'obtiens 2
Un+24
je divise par 2Un+1 j'obtiens : (2)/(2Un+1)
Un+1(4)/(2Un+1
0Un+1(2)/(Un+1)
Et comme 2/(Un+1) correspond àà 2 divisé par quelque chose, il ne sera jamais strictement supérieur à 2
Et la je peux dire que Pn+1 est vraie
(Désolé pour les parenthèses je ne trouve pas le signe de la division)
-Soit
Je prouve d'abord que Un+1
0
Un+1=(Un+2) / (2Un+1 (dit dans l'énoncé)
Si Un
0 alors
Un+2
0
et 2Un+1
0
Donc Un+1
0
Je prouve ensuite que Un+1
2
D'apres le début de l'exercice (dont je ne vous ai pas donné l'énoncé car je l'ai réussi) on a prouvé que pour tout x
0
On a posé la fonction f(x)=(x+2)/(2x+1)
Et j'ai montré que f(x) admet pour maximum 2 et est décroissante
Ainsi f(x)
2
et Un+1=f(Un)
2
Donc Un+1
2
Ainsi 0
Un+12
Pn+1 est vrai
Bonjour,
Pour l'hérédité dans 1), je conseille d'utiliser une méthode qui fonctionne très souvent quand on veut démontrer une inégalité du type
B Transformer
Ici, ça donne transformer
Si j'utilise votre technique j'ai
je dois montrer que
0
2-Un+1
Donc
2- (Un+2)/(2Un+1)
(2
(2Un+1)-(Un+2))2Un+1
(4Un+2-Un-2)/(2Un+1)
3Un/2Un+1
(2Un+1Un)/(2Un+1
1 + (Un)/2Un+1
Après cela, je ne sais pas comment prouver que ce résultat est supérieur ou égal à 0
Pouvez-vous tout de même jeter un coup d'oeil à mes deux autres façons de prouver l'heredité stp
Une coquille dans l'énoncé de 2) : c'est
En effet oui merci
Ensuite, pour le 3)
Voila ce que j'ai commencé à faire :
Soit n un entier naturel, je suppose que Pn est vrai c'est-à-dire que Un-1 a le même signe que (-1)n
Je veux montrer que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que Un+1-1 est du même signe que (-1)n+1
Je sais d'après l'exercice précedant que Un+1-1 = (-Un+1)/(2Un+1)
Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour démontrer cela
Ma seule piste est que (-1)x est négatif lorsque x est impair et positif lorsque x est pair
Aussi, si vous avez quelques instants pourriez vous m'aider à faire un autre exercice auquel personne ne m'a encore aidé :
https://www.ilemaths.net/sujet-dm-derivabilite-et-approximation-affine-830827.html
Merci à l'avance
Dans ton messge de 10h27 :
Et comme 2/(Un+1) correspond àà 2 divisé par quelque chose, il ne sera jamais strictement supérieur à 2
D'apres le début de l'exercice (dont je ne vous ai pas donné l'énoncé car je l'ai réussi)
Oublie donc mon histoire de différence pour cette question.
Mais garde la dans un coin. Ça peut servir dans un autre exercice.
Pour 3), transforme
(Un-1)/(2Un+1) .Dans ton messge de 10h27 :
Et comme 2/(Un+1) correspond àà 2 divisé par quelque chose, il ne sera jamais strictement supérieur à 2
D'apres le début de l'exercice (dont je ne vous ai pas donné l'énoncé car je l'ai réussi)
Oublie donc mon histoire de différence pour cette question.
Mais garde la dans un coin. Ça peut servir dans un autre exercice.
Pour 3), transforme
(Un-1)/(2Un+1) .C'est justement car cela ne m'a pas paru rigoureux que j'ai cherché une deuxième façon de prouver l'hérédité.
Dans le debut de l'exercice, l'énoncé pose la fonction f définie sur 0 inclus; +infini par f(x)=(x+2)/(2x+1)
Il fallait étudier le sens de variation de f sur 0 inclus; +infini
Representer les premiers termes de la suite Un+1=f(Un)
Puis dire si (Un est monotone
J'ai trouvé que f'(x) = -3/(2x+1)2
Que comme le dénominateur est un carré, le signe de f' dépend de -3 qui lui est toujours négatif donc f' est négatif sur o inclus; +infini
Par consequent f(x) est décroissante sur cette même intervalle.
En représentant les premierstermes de la suite on remarque que U0>U1 ; U1<U2 ; U2>U3
Ainsi, Un n'est pas monotone
Tu n'as pas remarqué que un+1 = f(un)
?
Si 0
un 2 alors
f(0)
f(un) f(2) car f décroissante sur [0;2].
Ce qui donne f(2)
un+1 f(0) .
Utile pour l'hérédité du 1).
Tu n'as pas remarqué que
Si
un 2 f(un) f(2) Ce qui donne
un+1 f(0) .
Utile pour l'hérédité du 1).
C'est ce que j'ai utilisé dans ma deuxième facon de faire l'hérédité
[quote]Je prouve d'abord que Un+10
Un+1=(Un+2) / (2Un+1 (dit dans l'énoncé)
Si Un0 alors
Un+20
et 2Un+10
Donc Un+10
Je prouve ensuite que Un+12
D'apres le début de l'exercice (dont je ne vous ai pas donné l'énoncé car je l'ai réussi) on a prouvé que pour tout x0
On a posé la fonction f(x)=(x+2)/(2x+1)
Et j'ai montré que f(x) admet pour maximum 2 et est décroissante
Ainsi f(x)2
et Un+1=f(Un)2
Donc Un+12
Ainsi 0Un+12
Pn+1 est vrai/quote]
D'accord, je n'avais pas lu en entier ton message d'hier à 10h27.
C'est donc correct ?
Et pour la 3)
J'ai commencé à écrire cela :
Ensuite, pour le 3)
Voila ce que j'ai commencé à faire :
Soit n un entier naturel, je suppose que Pn est vrai c'est-à-dire que Un-1 a le même signe que (-1)n
Je veux montrer que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que Un+1-1 est du même signe que (-1)n+1
Je sais d'après l'exercice précedant que Un+1-1 = (-Un+1)/(2Un+1)
Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour démontrer cela
Ma seule piste est que (-1)x est négatif lorsque x est impair et positif lorsque x est pair/
C'est ce que j'ai fait,
J'ai trouvé (2Un+1Un)(2Un+1)
1+ Un/(2Un+1)
Mais cela ne m'avance pas vraiment
Merci tout de même pour votre aide
Non, ce n'est pas ce que j'ai écrit :
Un+1-1 = (-Un+1)/(2Un+1) en (-1)
(Un-1)/(2Un+1) .Je repère dans votre écriture Un-1
Faut il que je me serve de cela étant donné que j'ai supposé vrai auparavant que Un-1 est du même signe que (-1)n ?
Oui. Pourquoi crois-tu que je l'ai écrit et répété ?
Excusez moi de ne pas comprendre
pour le message trouvé dans le livre d'or, et qui étant une contre vérité totale pour ce qui te concerne, message qui ne sera évidemment pas publié....
extrait de 
la FAQ du forum :Q24 - Moi, tout ce qui m'intéresse, c'est d'obtenir de l'aide. Vos règles du forum, je n'en ai rien à faire !
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