Pupuce, la prochaine fois mets des parenthèses pour éviter lea ambiguïtés,
je suppose que c'est:
f(x) = (x³ + 2x² + 4x + 2)/(x+1)²


Il me semble que l'on peut dire:

Si une fonction f(x) est définie sur un intervalle fermé de x (x compris
dans [a ; b] avec a et b réels finis), s'il y a un axe ou un
centre de symétrie dans la courbe représentant f((x), ce ne peut
étre qu'à l'abscisse (a+b)/2.
Si une fonction f(x) est définie en x -> -oo ET en x -> +oo, un axe
ou un centre de symétrie est possible (mais n'existe pas forcément),
ce ne peut être à une abscisse milieu de l'intervalle, c'est
à dire n'importe où dans R.
Si une fonction f(x) est définie sur [a ; oo[, s'il existe un axe
ou un centre de symétrie ce ne peut être à une abscisse milieu de
l'intervalle et donc dans ce cas en x = + oo.
-> il n'y a pas de centre ni d'axe de symétrie dans C.
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2-a)
Ensuite Erreur d'énoncé:
Tu dis: F(x) = ax+bx+cx+d/(x+1) au carré

Je suppose que tu as voulu écrire: f(x) = (ax+b) + [(cx+d)/(x+1)²]
Dans ces conditions, on trouve a = 1, b = 0, c = 3 et d = 2 qui donnent:
y = x + [(3x+2)/(x+1)²]
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2-b)
y = x est bien l'équation de l'asymptote oblique à C.
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2-c)
lim(x-> +oo) f(x) = +oo    (OK)
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2-d)
Il suffit d'étudier le signe de:
g(x) = x + [(3x+2)/(x+1)²] - x
g(x) = (3x+2)/(x+1)²

g(x) a le signe de 3x + 2
g(x) < 0 pour x dans ]-1 ; -2/3[ -> x + [(3x+2)/(x+1)²] < x  ->   C est
en dessous delta.
g(x) = 0 pour x = -2/3[ ->  x + [(3x+2)/(x+1)²] = x   ->  C et delta coïncident.
g(x) > 0 pour x dans ]-2/3 ; oo[ -> x + [(3x+2)/(x+1)²] > x ->  C est
au dessus delta.
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3)
lim(x -> -1+) f(x) = -oo
x = -1 asymptote verticale de C.
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4)
f(x) - 2 = [(x³ + 2x² + 4x + 2)/(x+1)²]-2
f(x) - 2 = (x³ + 2x² + 4x + 2 - 2x² - 4x - 2)/(x+1)²
f(x) - 2 = x³/(x+1)²

et on a donc f(x) - 2 = 0 si x = 0
-> f(x) - 2 s'annule en x = 0
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6)
Tu dis que tu as fait le point (5) , c'est en partant de là que
tu dis déduire le point 6.
et donc comme tu n'as pas copier ce que tu as fait, tu m'obliges
à le refaire.

5)
f(x) = (x³ + 2x² + 4x + 2)/(x+1)²
f '(x) = ((x+1)²(3x²+4x+4)-2(x+1)(x³ + 2x² + 4x + 2))/(x+1)^4
f '(x) = ((x²+2x+1).(3x²+4x+4)-2(x+1)(x³ + 2x² + 4x + 2))/(x+1)^4
f '(x) = (3x^4+10x³+15x²+12x+4)-2(x^4+3x³+6x²+6x+2))/(x+1)^4
f '(x) = (x^4+4x³+3x²)/(x+1)^4
f '(x) = x²(x²+4x+3)/(x+1)^4
f '(x) = x²(x+1)(x+3)/(x+1)^4
f '(x) = x²(x+3)/(x+1)³

(x+3)/(x+1)³ > 0 pour x dans ]-1 ; oo[

f '(x) > 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) est croissante.
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6)
f(x) est croissante dans ]-1 ; oo[
lim(x-> -1+) f(x) = -oo
lim(x->oo) f(x) = +oo

Des 3 lignes précédentes, on conclut qu'il y a une et une seule
valeur de x sur ]-1 ; oo[ qui annule f(x).

Par approximations successives, on trouve
f(-0,639) < 0
f(-0,638) > 0
->
f(x) = 0 pour x dans ]-0,639 ; -0,638[.
-----
Sauf distraction.  

excuse moi pour les paranthèses oublièes

merci de ton aide mais j'ai encore un problème concernant le question
a je ne comprend pas on me demande  de montrer sans calcul qu'il
ni a pas d'axe et de centre de symétrie, sur le graphique que
l'on nous demande de faire en fin de devoir effectivement il
n'existe ni axe ni centre de symétrie mais comment le démontrer
ton explication je ne la comprend pas peux la simplifier pour mes
petites neurones

merci

bonjour JP

MERCI POUT TOUTES DES AIDES

J AI ENCORE UN PROBLEME CONCERNANT LA QUESTION A

ON ME DEMANDE DE DEMONTRER SANS CALCUL QU4IL N Y A PAS D AXE ET DE CENTRE
DE SYMETRIE CA PAS DE PROBLEME CAR LORSQUE J AI FAIT LE GRAPHIQUE
EFFECTIVEMENT IL N Y A PAS D AXE ET DE CENTRE DE SYMETRIE MAIS COMMENT
JE PEUX LE DEMONTRER SANS CALCUL

JE N AI PAS COMPRIS TON EXPLICATION PEUS TU LA SIMPLIFIER

MERCI

** message déplacé **

Pour la symétrie.

S'il y a un axe de symétrie, la courbe à gauche de l'axe de symétrie
est le symétrique par rapport à l'axe de la courbe à droite
de l'axe de symétrie.
Donc avec d'autres mots, la partie à gauche et à droite de l'axe
sont identiques à un retournement horizontal près.

Ces 2 morceaux doivent évidemment avoir la même "largeur" en horizontal,
autrement dit l'axe de symétrie doit être au milieu de l'intervalle
permis en horizontal.

Mais l'intervalle est fermé à gauche (borné par -1) et ouvert à droite
(puisque va jusque + oo)

Il faut trouver l'abscisse qui est à la moitié de l'intervalle

[-1 ; oo[.
La moitié de l'infini est égal à l'infini.
Donc si un axe de symétrie existe pour C, cet axe doit se trouver à l'infini.
Cela revient à dire que cet axe ne peut pas exister.
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Encore dit autrement, si tu te places sur l'axe de symétrie supposé
exister, tu dois "voir" la même chose en regardant vers la droite
ou en regardant vers la gauche.
Si tu regardes à droite, tu peux "voir" infiniment loin (puisque f(x)
est définie pour x jusque + oo).
Si tu regardes maintenant à gauche, tu ne vois pas au delà de l'abscisse
-1 (puisque f(x) n'est pas définie pour x < -1)
Il est donc impossible en te mettant sur l'axe de symétrie supposé
exister de "voir" la même chose à gauche qu'à droite.
Conclusion, l'axe de symétrie n'existe pas.
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Raisonnement analogue si c'est un centre de symétrie.
Si on essaie de le trouver, il doit se trouver à l'infini et donc
il n'existe pas.
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Cette explication n'est pas faite avec des mots trés "mathématiques"
mais j'espère que tu as compris.

OK ?

MERCI JP POUR TON EXPLICATION

J AI ENFIN COMPRIS