Bonjour !
J'ai un DM de mathématiques à faire, mais je rencontre quelques problèmes. Voici l'énoncé :
Soient f, g et h les fonctions définies sur [0;+∞[ respectivement par f(x)=√(x+1), g(x)=f(x)-1-x/2+x²/8 et h(x)=g(x)-x3/16.
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0;+∞[.
1/a) Calculer f'''(x) puis démontrer que, pour tout x ≥ 0, g'''(x)=3/(8(x+1)²√(x+1)). Déterminer alors les variations de g'' sur [0;+∞[.
b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g''(x) puis les variations de g' et enfin le signe de g(x) sur [0;+∞[.
2/ Déterminer le signe de h(x) sur [0;+∞[.
Pour la question 1/a) je trouve que la dérivée troisième est égale à la dérivée. Même si j'ai vérifié mes calculs et qu'ils me semblent corrects, je suis pas sûre que mon résultat soit juste.
J'ai ensuite essayé de calculer g'''(x), mais je suis rapidement coincée. Voici ce que j'ai fait :
g'''(x)=1/(2√(x+1))-1-x/2+x²/8
g'''(x)=1/(2√(x+1)) - (2√(x+1))/(2√(x+1)) - (x√(x+1))/(2√(x+1)) + (x²√(x+1))/(2√(x+1))
g'''(x)=(4-8√(x+1)-4x√(x+1)+x²√(x+1))/(8√(x+1))
Ensuite j'ai essayé de faire la forme conjuguée, mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat, et je ne sais pas quoi faire d'autre.
Voilà, merci pour votre aide et bonnes fêtes de Noël !
Bonjour,
g(x) = f(x) + a(x) avec a(x) = -1-x/2+x²/8 .
a '''(x) = 0 ; donc g '''(x) = f '''(x)
On sait donc qu'il faut trouver f '''(x) = 3/(8(x+1)²√(x+1)).
Joyeux Noël sans de trop méchants exercices de maths
Bonjour,
1a) Tu as donc :
et
.
Tout d'abord, tu dois remarquer que : !
En effet, on a successivement :
puis
.
Donc, il te faut alors calculer simplement la dérivée tierce de f...
En remarquant que peut aussi s'écrire :
, on obtient alors assez facilement les dérivées successives de f . En appliquant la dérivée de un qui est nu'un-1, on a ainsi :
.
Puis :
.
Et enfin :
. (car 5/2 = 2 + 1/2)
CQFD.
Merci beaucoup pour vos réponses ! J'ai effectivement compris que f'''(x)=g'''(x), et en utilisant le fait que =(x+1)1/2, les calculs sont plus simples. Les autres questions ne devraient pas me poser de problèmes !
Cependant, j'aimerais connaître mon erreur lorsque je dérive f(x) en utilisant la dérivée de la racine carré. Voici mes calculs :
J'ai donc une erreur mais je n'arrive pas à savoir où.
Ta dérivée seconde est fausse !!
En effet, tu as :
.
Donc tu dois calculer la dérivée de !
On peut soit utiliser la forme qui a pour dérivée :
ou bien alors réécrire que : est aussi égal à
, et utiliser la forme u^n (c'est d'ailleurs la méthode que j'ai utilisé plus haut)
@Camelia : Bonjour... et bonnes fêtes au passage !
J'ai déjà donné les dérivées de f plus haut... (voir post de 16h57)
Meenarmy a souhaité connaître son erreur sur sa dérivée, la réponse est qu'il a utilisé la mauvaise forme pour effectuer sa dérivée, ce qui le conduit à une dérivée fausse...
PS : Il manque un 4 au dénominateur concernant ta dérivée seconde....
Finalement, j'ai un autre problème pour établir le tableau de signe de g'''(x) et donc déterminer les variations de g''(x). Je trouve que g'''(x) est positive, et ainsi que g''(x) est croissante sur l'intervalle [0;+[, mais lorsque je vérifie à la calculatrice, je trouve que g''(x) est décroissante sur ce même intervalle. Pourtant, il n'y a rien de négatif dans g'''(x), alors je ne comprends vraiment pas d'où peut bien venir mon erreur.
Merci pour votre aide et désolé du dérangement !
En effet, la fonction g'' est bien croissante sur [0;+inf[ car le signe de g''' est positif sur cet intervalle.
Oui c'est bien cette dérivée que j'ai entré dans ma calculatrice, j'ai dû faire une erreur avec les parenthèses ! Merci de ton aide fenamat84 !
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