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DM sur l'étude d'une fonction

Posté par
Meenarmy
25-12-16 à 16:26

Bonjour !
J'ai un DM de mathématiques à faire, mais je rencontre quelques problèmes. Voici l'énoncé :

Soient f, g et h les fonctions définies sur [0;+∞[ respectivement par f(x)=√(x+1), g(x)=f(x)-1-x/2+x²/8 et h(x)=g(x)-x3/16.
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0;+∞[.

1/a) Calculer f'''(x) puis démontrer que, pour tout x ≥ 0, g'''(x)=3/(8(x+1)²√(x+1)). Déterminer alors les variations de g'' sur [0;+∞[.

b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g''(x) puis les variations de g' et enfin le signe de g(x) sur [0;+∞[.

2/ Déterminer le signe de h(x) sur [0;+∞[.


Pour la question 1/a) je trouve que la dérivée troisième est égale à la dérivée. Même si j'ai vérifié mes calculs et qu'ils me semblent corrects, je suis pas sûre que mon résultat soit juste.

J'ai ensuite essayé de calculer g'''(x), mais je suis rapidement coincée. Voici ce que j'ai fait :
g'''(x)=1/(2√(x+1))-1-x/2+x²/8
g'''(x)=1/(2√(x+1)) - (2√(x+1))/(2√(x+1)) - (x√(x+1))/(2√(x+1)) + (x²√(x+1))/(2√(x+1))
g'''(x)=(4-8√(x+1)-4x√(x+1)+x²√(x+1))/(8√(x+1))

Ensuite j'ai essayé de faire la forme conjuguée, mais je n'arrive pas à trouver le bon résultat, et je ne sais pas quoi faire d'autre.

Voilà, merci pour votre aide et bonnes fêtes de Noël !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 16:54

Bonjour,
g(x) = f(x) + a(x) avec a(x) = -1-x/2+x²/8 .

a '''(x) = 0 ; donc g '''(x) = f '''(x)

On sait donc qu'il faut trouver f '''(x) = 3/(8(x+1)²√(x+1)).

Joyeux Noël sans de trop méchants exercices de maths

Posté par
fenamat84
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 16:57

Bonjour,

1a) Tu as donc :

f(x)=\sqrt{x+1} et g(x)=f(x)-1-\frac{x}{2}+\frac{x²}{8}.

Tout d'abord, tu dois remarquer que : g'''(x)=f'''(x) !
En effet, on a successivement :

g'(x)=f'(x)-\frac{1}{2}+\frac{x}{4} puis
g''(x)=f''(x)+\frac{1}{4}.

Donc, il te faut alors calculer simplement la dérivée tierce de f...

En remarquant que f(x)=\sqrt{x+1} peut aussi s'écrire : f(x)=(x+1)^{\frac{1}{2}}, on obtient alors assez facilement les dérivées successives de f . En appliquant la dérivée de un qui est nu'un-1, on a ainsi :

f'(x)=\frac{1}{2}*1*(x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2(x+1)^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Puis :

f''(x)=-\frac{1}{2}*\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4(x+1)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{4(x+1)\sqrt{x+1}}.

Et enfin :

f'''(x)=-\frac{3}{2}*-\frac{1}{4}(x+1)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8(x+1)^{\frac{5}{2}}}=\frac{3}{8(x+1)²\sqrt{x+1}}.  (car 5/2 = 2 + 1/2)

CQFD.

Posté par
Meenarmy
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 17:38

Merci beaucoup pour vos réponses ! J'ai effectivement compris que f'''(x)=g'''(x), et en utilisant le fait que \sqrt{x+1}=(x+1)1/2, les calculs sont plus simples. Les autres questions ne devraient pas me poser de problèmes !

Cependant, j'aimerais connaître mon erreur lorsque je dérive f(x) en utilisant la dérivée de la racine carré. Voici mes calculs :
f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{x+1}}
f''(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} \Leftrightarrow f''(x)=\sqrt{x+1}

J'ai donc une erreur mais je n'arrive pas à savoir où.


Sylvieg @ 25-12-2016 à 16:54

Joyeux Noël sans de trop méchants exercices de maths  


Merci beaucoup, à vous aussi ! J'aime bien les maths, même si c'est Noël et que cet exercice est méchant, donc ça ne me dérange pas !

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 18:03

Bonjour

f'(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^{-1/2}

f''(x)=-\dfrac{-1}{4}(x+1)^{-3/2}=\dfrac{-1}{(x+1)\sqrt{x+1}}

Posté par
fenamat84
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 18:10

Ta dérivée seconde est fausse !!

En effet, tu as :

f'(x)=\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{x+1}}.

Donc tu dois calculer la dérivée de \frac{1}{\sqrt{x+1}} !

On peut soit utiliser la forme \frac{1}{u^n} qui a pour dérivée : -\frac{nu'}{u^{n+1}}

ou bien alors réécrire que : \frac{1}{\sqrt{x+1}} est aussi égal à (x+1)^{-\frac{1}{2}}, et utiliser la forme u^n (c'est d'ailleurs la méthode que j'ai utilisé plus haut)

Posté par
fenamat84
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 18:16

@Camelia : Bonjour... et bonnes fêtes au passage !

J'ai déjà donné les dérivées de f plus haut... (voir post de 16h57)
Meenarmy a souhaité connaître son erreur sur sa dérivée, la réponse est qu'il a utilisé la mauvaise forme pour effectuer sa dérivée, ce qui le conduit à une dérivée fausse...

PS : Il manque un 4 au dénominateur concernant ta dérivée seconde....

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 18:23

Salut fenamat84 tu as raison!

Posté par
Meenarmy
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 18:32

Ah oui j'ai compris mon erreur, merci beaucoup fenamat84 !

Posté par
Meenarmy
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 21:04

Finalement, j'ai un autre problème pour établir le tableau de signe de g'''(x) et donc déterminer les variations de g''(x). Je trouve que g'''(x) est positive, et ainsi que g''(x) est croissante sur l'intervalle [0;+\infty[, mais lorsque je vérifie à la calculatrice, je trouve que g''(x) est décroissante sur ce même intervalle. Pourtant, il n'y a rien de négatif dans g'''(x), alors je ne comprends vraiment pas d'où peut bien venir mon erreur.

Merci pour votre aide et désolé du dérangement !

Posté par
fenamat84
re : DM sur l'étude d'une fonction 25-12-16 à 21:44

En effet, la fonction g'' est bien croissante sur [0;+inf[ car le signe de g''' est positif sur cet intervalle.

Citation :
mais lorsque je vérifie à la calculatrice, je trouve que g''(x) est décroissante sur ce même intervalle. Pourtant, il n'y a rien de négatif dans g'''(x), alors je ne comprends vraiment pas d'où peut bien venir mon erreur.


C'est sûrement que tu as dû faire une erreur en entrant ta fonction g''(x) sur ta calculatrice car elle est bel et bien croissante... !!

Je te rappelle que g'' est définie par : g''(x)=f''(x)+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4(x+1)\sqrt{x+1}}+\frac{1}{4}...

Posté par
Meenarmy
re : DM sur l'étude d'une fonction 26-12-16 à 08:39

Oui c'est bien cette dérivée que j'ai entré dans ma calculatrice, j'ai dû faire une erreur avec les parenthèses ! Merci de ton aide fenamat84 !

Posté par
fenamat84
re : DM sur l'étude d'une fonction 26-12-16 à 11:29

De rien, et bonnes fêtes de fin d'année !

Posté par
Meenarmy
re : DM sur l'étude d'une fonction 27-12-16 à 11:51

Merci bien, à toi aussi fenamat84 !



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