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DM sur la récurrence et les suites
Bonjour, j'ai un DM de maths à faire sur les suites et la récurrence, avec l'énoncé suivant:
Soit () la suite définie par
= 3/2 et pour tout n
,
=
.
1. Calculer une valeur approchée de ,
et
.
Conjecturer le sens de variation de .
2. Montrer par récurrence que pour tout ,
>1.
3. Démontrer alors la conjecture faite à la question 1.
4. on considère la fonction f définie sur R par f(x)=.
(a). Étudier la convexité de f sur .
(b). En considérant la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1, démontrer que pour tout ,
.
5. On pose . Déduire de la question précédente que pour tout
.
6. Prouver alors que par récurrence que pour tout
7. Pour tout car
.
se trouve donc entre 0 et
. En calculant les valeurs de
pour n allant de 1 à 5, que peut-on raisonnablement penser de la suite (
) lorsque n tend vers
? et pour (
)? (on ne demande pas une preuve, qui nécessiterait quelques résultats qui seront démontrés cette année, mais juste une explication).
Pour le moment, j'ai calculé et
, j'ai obtenu 1,1 ; 1.005 et 1 environ, je peux donc conjecturer que la suite est strictement décroissante et qu'elle a pour limite 1. Cependant je suis bloquée à la question 2.
Merci pour votre aide.
Bonjour, donc pour la 2) ton hypothèse c'est que Un-1 >0 et tu dois montrer que l'on a un+1-1 > 0
un+1-1 =un - 2 + e 1-un
étudie la fonction f(x) = x-2+e1-x et montre qu'elle est bien toujours positive ou nulle.
on a x= 2+ . Or l'exponentielle est toujours positive, donc la fonction f est toujours positive, c'est ça?
oui comment montres-tu que f(x) est croissante pour x>1 ?
(et puis j'aurais dit : donc f(x) > 0 
un+1 > 1 pour montrer l'hérédité de la récurrence)
j'ai calculé f'(x): x-. Avec ça je fais un tableau de signes et j'en déduis que f est croissante sur R, mais à partir de là je ne vois pas du tout comment faire!
ah oui excusez-moi j'ai voulu essayer ça à la calculatrice
Le logarithme népérien et l'exponentielle sont réciproques donc ils s'annulent
non, récapitulons parce que tu écris des choses un peu confuses,
f'(x) = 1 - e1-x
or pour x > 1 1- x < 0 e1-x < 1 f'(x) > 0
donc f(x) est croissante quand x > 1
or f(1) = 0 donc f(x) > 0 pour x > 1 ce qui démontre l'hérédité de la récurrence.
oui trouve le signe de un+1-un, avec l'étude de la fonction que l'on vient de faire, ça sera simple.
On a posé
je ne comprends pas bien ce que tu dis.
un+1-1 =un - 2 + e 1-un
pour étudier son signe, on a étudié le signe de ce qu'il y a à droite du signe = en étudiant la fonction
f(x) = x-2 + e1-x et on a montré que cette fonction était positive pour x>1 ce qui nous a permis de montrer l'hérédité de la récurrence.
maintenant on doit étudier le signe de un+1-un pour montrer que c'est négatif et que donc la suite est décroissante.
un+1-un = -1 + e 1-un et là bonne surprise, on remarque que le membre de droite c'est justement ce qu'on a trouvé pour la dérivée de f(x) avec un signe - et donc on sait déjà que c'est négatif.
on en déduit un+1-un <0 ce qui montre que la suite est décroissante.
Après, une suite décroissante et minorée par 1 converge. reste à trouver la limite.
Qu'est-ce que tu proposes ?
On choisit un nombre positif N qui se trouve entre la limite supposée de la suite(1 ici) et certains des termes de (Un). Pour ça je pense qu'on peut prendre . Ensuite on vérifie que (u0-la limite) est inférieur au nombre N?
On a vu les limites de suite très récemment donc je ne sais pas encore si j'ai bien compris
c'est plus simple que ça. on sait maintenant que la suite converge vers une limite (parce qu'elle est décroissante et minorée par 1) on pose cette limite = L
on prends la formule de récurrence un+1 =un - 1 + e 1-un et on regarde ce qu'il se passe quand n tend vers l'infini.
un tends vers L et un+1 aussi donc si on passe l'égalité à la limite, ça donne : L = L-1 + e 1-L
équation à résoudre pour trouver L
oui voilà, on a donc démontré que la suite était décroissante et tendait vers 1 donc la conjecture faite au début.
ah oui, erreur de ma part, 2 car x est supérieur ou égal à 1 donc f''(x)>0 et f convexe sur [1; +
[ .
Pour l'équation de tangente au point d'abscisse 1, j'ai T: y=x-2. Comme f est convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes, donc x-2.
C'est juste?
donc
.
Pour la question 6 j ne vois pas comment faire, je trouve (1/2)2n, mais après comment peut-on faire pour montrer avec la récurrence?
J'avais pris la question précédente, où on disait que , et j'ai essayé de remplacer x par un, mais je crois qu'une fois de plus je n'ai pas bien compris
Si, Ok c'est bien.
Question 6, initialise la récurrence, écris l'hypothèse pour n et montre que l'inégalité est encore vraie pour n+1.
On conjecture que pour tout ,
On note Pn: " "
On va prouver que Pn est vrai pour tout par récurrence.
Initialisation : U0= u0-1 =3/2-1=1/2.
(U_{0})^{2n}[/tex]= 1/22n donc P0 est vraie.
Hérédité:
On suppose que Pn est vraie pour un certain n .
Montrons que Pn+1 est vraie: Pn+1:"
Un+1(Un)2
Donc Un+1(Un)2n
Est-ce correct?
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