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DM: sur la surface de la terre
On considère deux point A et B de la surface terrestre, situés sur un même parallèle.
Envisageons deux trajets pour aller de A en B:
*l'un suivant le parallèle ;
*l'autre suivant le <<grand cercle>> passant par A et B, c'est à dire le cercle découpé sur la sphère par le plan (OAB), O étant le centre de la sphère.
Il s'agit de comparer la longueur de ces deux trajets.
Mathématisation:
La surface terrestre est assimilée à une sphère de rayon R, le parallèle est alor le cercle C de centre I et de rayon r (r<R) tracé sur la sphère et contenu dans un plan parallèle au plan équatorial.
On désigne par
et ( un 0 barer par sa I (**) les réels de l'intervalle [0;
] qui mesurent respectivement les anglesgéometriques AIB et AOB ( les 2 ont un chapeau pour l'angle).
Enfin, on note l la longueur de l'arc AB suivant le parallèle et L la longueur de l'arc AB suivant le grand cercle.
1) Etablir les résultats suivants : a) AB=2r sin/2 = 2R sin(**0I)/2;
b) r/R sin/2=sin(**)/2
c)l=r
d)L=(**)R
2)Montrer que l et L sont rangés dans le même ordre que(multiplication=>) r/R x/2 et (**)/2, puis que sin(r/R x/2)et r/Rsin/2
3) soit a un réel tel que 0<a<1
Comparer sur [0;], les fonctions x--->sin(ax) et x---->asinx.(Etudier la fonction f : x --->sin(ax)- asinx sur [0;]
4) En deduire que le trajet le plus court est obtenu en suivant le grand cercle.
figure du DM: un peut flou desoler je n'est pas pu faire mieu... Merci de m'aide ..
bonjour
pour la première qestion tu as intêret à faire des dessins: d'abord le triangle AIB (isocèle en I)avec la hauteur issue de I et l'angle téta.
puis idem avec le triangle AOB
c'est de la trigo ds un triangle rectangle: sin(téta/2)=((1/2)AB)/r
même chose ds l'autre triangle
ensuite le b se déduit du a
pour le 2) l=téta*r et L=phi*R; on divise par 2R ce qui ne change pas l'ordre (R>0)
ensuite voir que ces nbres sont compris entre 0 et pi/2 , et la fonction sin est croissante sur[0; pi/2].
Pour le 3) je doit regarde avec la figure ou ?
pour le 4) il parle de quel grand cercle ?
merci pour tes reponse co11
pour le 3) tu suis les instructions données:variations de f, tu en déduiras le signe de f et donc la comparaison entre sinax et asinx
en 4)on parle toujours du grand cercle passant par A et B
bah merci pour ton aide co11
si tu veut faire des precisions sur certain question je t'en pris ^^ mais sinon merci encore
qq éléments de réponse si tu veux:
3) on trouve que f'(x) > 0, d'accord ou veux tu de l'aide?
donc f est strictement croissante; et comme f(0) = 0....
4)on a montré en 2) que l et L sont rangés finalment ds le même ordre que sin(r/R*téta/2)et r/Rsin(téta/2); alors applique le résultat du 3) avec a=r/R
c'est bon?
pour le 3) le resultat nous aides a repondre a la question 4) c'est sa ?
on applique le résultat du 3) avec a=r/R et x=téta/2 ? apre ce resonement... que cela nous indique finalement ?
merci pour tes precision co11 cela m'aide beaucoup
oui le 3) sert à répondre au 4) avec a=r/R et x=téta/2.As-tu réussi à faire tout cela?
éventuellement dis moi ce que tu as fait dans ces questions 3) et 4), si tu as bloqué qq part.
dans le 1) tu me dit qu'on peut deduire le b) grace au a) et je me suis pencher dessu et je n'arrive pas a comprendre cela ... peut-tu etre plus explicite ? merci beaucoup
pour la question 1) il nous demande de faire des figures synthétiques et je n'est pas compris ce que cela voulais dire...
pour laz question 3) jai vu mon erreur car en regardant mieu l'énoncer jai mis ici sur l'intervalle [O;pie] alor que c [0:pie/2]
pour le 1)a) tu me dit: "c'est de la trigo ds un triangle rectangle: sin(téta/2)=((1/2)AB)/r " mais dans l'énonce il dise AB= 2r sin(téta/2) =2Rsin (**)/2 ? peut-tu m'explique ton raisonement merci
pour la question 1) je pense que les figures attendues sont:
le cercle de centre I et de rayon r avec les points A et B, l'angle téta, et la hauteur issue de I (et l'angle téta/2 au lieu de téta ou en plus?). Tu vois ce cercle en haut de la sphère donnée ds ton DM.
le grand cercle passant par A et B: centre O, rayon R; avec toujours les pts A et B, la hauteur issue de O, l'angle phi (et-ou phi/2). Ce cercle est aussi dessiné sur la sphère du DM (en pointillés larges)
je ne sais pas faire de figure à poster, mais fais celles dont je viens de te parler.
puis si tu appelles par exemple H le pied de la hauteur issue de I ds le triangle AIB, applique la définition du sinus (côté opposé/hypoténuse) dans le triangle rectangle AIH, tu verras que c'est bon.
donc enfete je refet les figures qui sont sur le DM mais séparé ?
pour le cercle de centre I je le reproduit sur ma feuille mais vu de haut par exemple avc les points A et B dessu et idem pour le cercle de centre O dont tu me parle c'est sa?
(ps: pour les figures a poster moi je les pris en photo et je les ajoute sur le forum ^^)
c'est ça, tu fais tes dessins "vus de face"; c'est d'ailleurs ce qui permet aussi de traiter plus facilement la question 1 a.
et en ce qui conserne le c) et d) je fait pareil ?
apre avoir fait les dessins comment on peut etablri ces resultats ?
pour le c et le d, je ne sais pas très bien ce que tu dois dire, c'est presque un résultat de cours: la longueur d' un arc de cercle est proportionnelle à l'angle (admis ou non?) et la mesure en radians d'un angle est justement la longueur d'un arc d'un cercle trigonométrique (de rayon 1).
petite presicion pour le 3) jai dit comparer sur [0;pie] mais c'etait [0; pie/2] donc les element de reponse que tu ma donne sont peut-etre fausse ^^ peut-tu rectifier ? merci bien
et pour le 2) si tu pouvais expliqué ton raisonement sa serait bien merci
pour le 2) regarde ce que je t'ai écrit le 22 à 10h48
pour le 3), comme je n'ai donné que des pistes, ça ira; tu auras peut-être du mal à étudier le signe de f'(x)?
pour le 3) etudier le signe de f'(x) je sais faire mais je doit prendre la definition car on a pas de valeur ... mais je ne vois pas la difference entre (x--->sin(ax)) et (x---->asinx) je parle pour l'etude du signe
je ne comprends pas ce que tu veux dire par: on n'a pas de valeur
à part ça, fais attention car sin(ax) n'est pas égal à asinx.
pour la 1) on ma proposer sa :
Le probleme se resume a calculer la longueur d'un segment [AB] et celle d'un arc {AB} dans le plan ABI ainsi que dans la plan ABO
Dans le cercle C le triangle ABI est isocele et [AB] se calcule aisement en fonction de r (IA) et de θ/2, ce qui conduit aux relations 1(a) et 1(b)
De même l'arc {AB}...
Un raisonnement identique dans le cercle equatorial conduit aux meme relations avec R et Φ
c)(( Périmètre cercle 2П r pour angle =2П
Pour un angle θ, l= ....))Pour la c) c'est une règle de trois :
Le périmètre d'un cercle est : angle total * rayon, soit 2Пr
La longueur d'un arc de cercle d'angle θ est : angle * r , soit θr
j'ai eu d'autre reponse tel que :
2-Suppose que l>L ce qui est en fait le cas. Un pilote d'avion le sait très bien.
Utilise 1c et 1b pour montrer
r/R*(Theta/2)>Phi/2
ensuite passe à la question 3
3-Etudie f(x) en calculant f '(x).
Sur [0;Pi/2], pour 0<a<1, f est-elle croissante ou décroissante ?
revient à la question 2.
2-le 3 montre que sin((r/R)*(Theta/2))>(r/R)*sin(Theta/2)=sin (Phi/2) et de là tu remontes à
l>L.
que pense-tu des reponses que j'ai eu ?
je crois que j'aurai du mal à t'aider si tu me dis pas du tout ce que toi tu as fait.
Par exemple as-tu dessiné les figures pour le 1? On en parlait le 25 vers 17h.
oui j'ai fait tout comme tu ma dit et un camarade a moi ma donne sa en reponse donc je demande si c'est bien sa ?
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