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Dm sur le logarithme népérien+ limites de suites
Bonjour, j'ai un dm à faire avec l'énoncé suivant:
Kapla est un célèbre jeu de construction constitué de petites planchettes de bois. On va s'intéresser au problème suivant : peut-on créer une tour de Kapla se décalant horizontalement dans une direction d'autant qu'on le souhaite sans qu'elle s'écroule ?
On se place dans un repère orthonormé. Cependant, seules les abscisses sont nécessaires pour formaliser le problème. Pour tout n 1, xn désigne l'abscisse du centre de gravité du n-ième Kapla en partant du haut de la tour. On note Xn l'abscisse du centre de gravité de l'ensemble des n premiers Kapla en partant du haut. Ainsi, Xn =1/n
. On note a la longueur d'un Kapla (11,7 m en réalité) et on décide que x1 = 0. Enfin, on décide de décaler les Kapla vers la droite en descendant :
(première image)
Partie A : Préliminaire
On note Hn =
et on considère la suite (un) définie pour n 1 par :
un = Hn - ln(n)= 1+1/2+1/3+...+1/n -ln(n)
Le but est de montrer que (un) est une suite convergente.
1. (a) On pose pour tout x > 0, (x) = 1/ (x + 1) -ln(x+1)+ln(x).
Calculer phi'(x) et montrer que phi est une fonction strictement croissante.
b) Calculer la limite de phi(x) lorsque x tend vers +infini. En déduire le signe de phi(x) sur ]0; +infini[.
c) Etudier les variations de la suite (un)
2)a) On pose pour tout x > 0, (x) = 1/x - ln(x+1)+ln(x).
Calculer '(x) et montrer que
(x) est une fonction strictement croissante.
(b) Calculer la limite de (x) lorsque x tend vers +infini. En déduire le signe de
(x) sur ]0; +infini[
c) montrer que, pour tout n :
= Hn - ln(n+1)
d) en déduire que pour tout n 1, un> 0 et conclure quant à la convergence de (un).
Cette limite est traditionnellement connue sous le nom de constante d'Euler et est notée . On peut prouver que :
0,577.
Si on note vn= un- , alors on en déduit de ce qui précède pour tout n
1 : Hn= ln(n) +
+ vn .
Où (vn) tend vers 0 en décroissant et en restant strictement positive.
Partie B : Réponse au problème
Les n premiers Kapla en partant du haut tiennent en équilibre sur le n + 1-ième à condition que le centre de gravité de l'ensemble des n premiers se situe au-dessus du n+ 1-ième, ce qui peut se traduire, compte tenu
du fait qu'on décale les Kapla vers la droite en descendant, par :
xn+1 - a/2 pour tout n
1.
(2e image )
Dans un premier temps, on va considérer que xn+1 - a/2= Xn, c'est à dire qu'on se place dans le cas à la limite du déséquilibre.
1. Montrer que pour tout n 2, n*xn+1-(n-1)xn=xn+ a/2
2. En déduire que pour tout n 2, xn+1= xn+ a/2n.
(égalité aussi vraie pour n=1)
3. Démontrer par récurrence que pour tout n 1, xn+1= a/2Hn ;
On a donc, d'après les résultats de la partie A, xn+1 =a/2(ln(n) + + vn) dans le cas à la limite du déséquilibre. si on choisit xn+1 = a/2(ln(n) +
), on se trouve donc en dessous de ce cas limite puisque vn est positive. La tour est alors bien équilibrée.
4. Calculer alors la limite de xn+1 lorsque n tend vers + infini.
Quelle réponse peut-on donc donner au problème initial ? Si l'on souhaite que le centre de gravité du dernier Kapla soit décalé de 20 cm par rapport au premier, combien de Kapla doit-on empiler ? Et pour 40 cm ? 60 cm ? 80 cm ? Que penser alors d'une telle construction ?
Voilà, j'ai fait toute la partie A, et la question 2 de la partie B, mais je n'arrive pas à faire la 1. Je remplace xn+1 et xn par Xn+ a/2 et Xn-1 + a/2, mais je trouve 2xn et non xn+a/2 (l'image en photo) . Quelqu'un pourrait-il m'aider svp?
Merci d'avance, bonne journée
anoukg, bonjour
tu n'es pas nouveau/velle sur notre site
je ne vais pas éditer ton message pour supprimer la 3e image qui est interdite, car tous les caractères spéciaux vont sauter...mais ne recommence pas
tu sais très bien que tu dois recopier et non photographier tes recherches
Excusez-moi, je ne me souvenais plus que les photos de nos recherches étaient interdites (je croyais que c'était seulement l'énoncé). Du coup je recopie mes recherches :
n*( Xn+ a/2) -(n-1)*( Xn-1+ a/2)
= + n a/2 -(
+ n a/2 -Xn-1 -a/2 )
= + n a/2 -
-n a/2 + Xn-1 +a/2 = xn +Xn-1 +a/2 = 2xn
bonjour
je pense qu'il y a un confusion entre les X et les x
dans l'énoncé de B1, la relation ne concerne que des x ?
ah non j'ai compris d'où vient ton erreur
... = n*( Xn+ a/2) -(n-1)*( Xn-1+ a/2) oui
=
Donc si je refais le calcul, c'est :
n*(Xn + a/2) -( n-1)*(Xn-1 +a/2)
= + na/2 - (nXn-1 - na/2 - a/2 ) ?
Donc si je refais le calcul, c'est :
n*(Xn + a/2) -( n-1)*(Xn-1 +a/2)
=
D'accord merci beaucoup!
pour la question 3:
Pn : "xn+1= a/2 Hn"
Pour l'initialisation de la récurrence, j'ai trouvé que x 1+1 = a/2 Hn = a/2, donc que la proposition de récurrence est vraie au rang 1, mais par contre je ne comprends pas comment faire pour l'hérédité?
La proposition de récurrence est Pn= " xn+1 = (a/2)*Hn", donc dans l'hérédité, je pars de Pn et remplace xn+1 par xn + a/(2n) , mais à partir de là je ne vois pas comment faire pour arriver à xn+1+ a/(2n+1) = a/2 * Hn+1
non !
pour n=1 c'est trivial à vérifier
ensuite on suppose que pour un certain n
1 on a
xn+1 = (a/2)*Hn
et il faut passer au rang suivant, donc :
sachant que xn+2 = xn+1 + a/(2(n+1)) (question précédente)
il faut que tu montres que Pn+1 est encore vrai
Je comprends qu'il faille passer de xn+1 à xn+2, mais je ne comprends pas quel est le lien entre les 2, s'il faut multiplier, diviser ou additionner quelque chose
Pour la question 4, j'ai calculé la limite de xn+1, elle vaut + infini, donc il semble que la réponse au problème initial soit oui. Pour que le centre de gravité soit décalé de 20 cm, je fais 20 = a/2 (ln(n) +) et a= 11,7 donc a/2= 5,85, ainsi 20/5,85= ln(n) +
, ln (n) = 20/ 5.85 -
, donc n = exp (20/ 5.85 -
) = 17,2, donc cela fait 18 kaplas, est-ce juste?
oui pour la limite de xn
par contre pour les calculs suivants il vaut mieux utiliser xn+1=(11,7/2) 
Hn et le faire dans un tableur car il y a la suite vn qu'on ne connait pas.
je trouve que x17 
19,78 et x18 20,12
donc je dirais, sachant que les calculs sont faits "en limite de déséquilibre, qu'il faut (de 0 à 18...) : 18+1 = 19 barres
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