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dm sur le nombre d'or et rectangle d'or (avec des équations)
bonjour à tous et à toutes.
ma prof de maths nous a donnez un dm de maths à faire en rapport avec le nombre d'or (enfin rectangle d'or plutot) et des équations. je ne comprend pas très bien le nombre d'or et les rectangles d'ors alors j'espère que vous pourrez m'expliquer svp.
je vous en remercie d'avance en tout cas.
nombre d'or et rectangle d'or :
je peux pas faire le dessin mais bon je crois que les indications de l'exo aident pour faire un petit croquis simple de la construction.
voici une construction d'un rectangle d'or. ABCD est un carré de coté de longueur a . L'arc de cercle de centre I, milieu de [AB] , passe par les points D, C et E.
1/ a/ déterminer en fonction de a les dimensions des rectangles BEPC et ADPE.
b/ en déduire que ces 2 rectangles ont le même format dont on donnera la valeur exacte. Ce nombre s'appelle le nombre d'or et se note phi en hommage au sculpteur grec phidias qui décora le parthénon a athènes.
2/ on appelle b la longueur BE.
a/ exprimer en fonction de a et b les quotients AE/AD et PE/BE, puis les exprimes en fonction de phi.
b/ les rectangles BEPC et ADPE ayant le même format, montrer que phi est solution de l'équation x² - x - 1 = 0
c/ montrer que x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4
d/ en déduire les solutions de l'équation x² - x - 1 = 0 puis retrouver la valeur de phi obtenue à la question 1.
bon j'ai essayé de faire cet exercice, voici ce que j'ai pu trouver :
1/ a/dimension de BEPC = ADPE - ABCD² = ADPE - a²
dimension de ADPE:
b/ là je ne comprend pas ce qu'on me demande
2/ a/ AE/AD = (a+b) / a
PE/BE = a / b
en fonction de phi : là je ne sais pas comment faire
b/ montrons que phi est solution de x²-x-1=0
(phi = (1+ racine de 5)/2 )
x²-x-1 =0 <=> x² - x = 1
<=> x² = 1 + x là je suis bloquée je ne vois pas le rapport avec phi
c/ x²-x-1 = (x - 1/2 )² - 5/4 <=> x² -x-1 = x² - 2x + 1/4 - 5/4
<=> -x + 2x = -4/4 +1
<=> x = 0
donc x = 0
d/ là je ne comprend pas non plus
en fait, je crois que (en plus) comme je ne suis pas très forte en français, c'est peut-être un problème de vocabulaire, je n'arrive pas saisir le sens des questions. j'espère que vous pourrez m'éclairer
meci d'avance en tout cas
A bientot
Bonjour,
je suppose que E est dans le prolongement de [AB)?
1/ a/ déterminer en fonction de a les dimensions des rectangles BEPC et ADPE.
EP=AD=a
IE est le rayon du cercle donc IE=ID.
Pythagore dans tri DAI rect en A :
ID²=IA²+AD²=(a/2)²+a²=a²/4+a²=5a²/4
donc IE=ID=(aV5)/2-->V=racine carrée.
BE=IE-IB=(aV5)/2 - a/2=a(V5-1)/2
AD=1
AE=AB+BE=a+(aV5)/2-a/2=a/2+(aV5)/2=[a(1+V5)]/2
J'envoie ça.
b/ en déduire que ces 2 rectangles ont le même format dont on donnera la valeur exacte. Ce nombre s'appelle le nombre d'or et se note phi en hommage au sculpteur grec phidias qui décora le parthénon a athènes
b/ en déduire que ces 2 rectangles ont le même format dont on donnera la valeur exacte.
Le format d'un rectangle c'est sa longueur divisé par sa largeur.
Pour le format de BEPC :
PE/BE=a/[a(V5-1)/2]=2/(V5-1)--->tu multiplies par (V5+1)/(V5+1) qui vaut 1 donc ça ne change rien. Tu as vu que j'ai simplifié par "a".
PE/PB=2(V5+1)/(5-1) car au déno tu vois (a-b)(a+b)=a²-b²
PE/PB=(V5+1)/2
Pour le foramt de ADPE :
AE/AD=(1+V5)/2 car on peut simplifier par "a".
Donc phi=(1+V5)/2
j'envoie.
2/ on appelle b la longueur BE.
a/ exprimer en fonction de a et b les quotients AE/AD et PE/BE, puis les exprimes en fonction de phi.
AE=AB+BE=a+b
AD=a
AE/AD=(a+b)/a=a/a+b/a=1+b/a mais b=BE=a(V5-1)/2
Donc AE/AD=1+(V5-1)/2=(2+V5-1)/2=(1+V5)/2=phi
PE=a
BE=b donc PE/BE=a/b mais b=a(V5-1)/2
donc PE/BE=1/[(V5-1)/2]=2/(V5-1)-->j'ai expliqué comment faire pour trouver :
PE/BE=(1+V5)/2=phi
b/ les rectangles BEPC et ADPE ayant le même format, montrer que phi est solution de l'équation x² - x - 1 = 0
Donc AE/AD=1+b/a-->voir ci-dessus.
Et PE/PB=a/b
Ces rapports sont égaux donc :
1+b/a=a/b-->ligne (1)
Posons x=a/b donc 1/x=b/a
La ligne (1) devient :
1+1/x=x
soit x-1/x-1=0-->on multiplie droite et gauche par x qui est diff de 0 :
x²-x-1=0-->(2)
Donc a/b qui est phi est solution de (2).
c/ montrer que x² - x - 1 = (x - 1/2)² - 5/4
Tu développes (x-1/2)²-5/4 et tu as : x²-x-1.
d/ en déduire les solutions de l'équation x² - x - 1 = 0 puis retrouver la valeur de phi obtenue à la question 1.
Les solutions de x²-x-1=0 sont celles de (x-1/2)²-5/4=0-->(3)
Dans (3) on voit a²-b²=(a+b)(a-b) avec a=x-1/2 et b=V(5/4)=(V5)/2
Cela donne :
[(x-1/2)+V5/2][(x-1/2)-V5/2]=0
Il faut arranger dans les [....] et appliquer :
Pour qu'un produit de facteurs soit nul , il faut que l'un des facteurs au moins soit nul.
Tu n'auras qu'une seule solution >0 :
x=(1+V5)/2
Bon courage!!
A+
je n'ai pas pu encore tout lire de ce que vous m'avez répondu mais je vous remercie d'avoir pris le temps de m'aider ! merci beaucoup !
On considère le carré ABCD de coté 1.
On place le milieu I de [AB]. On trace le cercle de centre I et de rayon IC, il coupe la demi-droite [AB) en E.
a) calculer IC
b) caculer AE
Pour IC j'ai trouvé 
1.25.
Mais je ne trouve pa comment faire pour trouver AE.
pourriez vous m'aider.
merci d'avance
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