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Dm sur les aires et logarithme

Posté par
Xeniris 01-11-18 à 23:29

Bonjour,

Nous avons un Dm de maths à rendre pour la rentrée et j'ai un peu de mal avec celui-ci.
J'ai fait des choses mais je ne sais pas si je suis dans le bon résonnement etc. Je sais que je dois utiliser le Logarithme Népérien à un moment donné mais je n'ai pas tellement compris le concept et quand l'utiliser.

Voici l'énoncé :
Soient a et b deux réels strictement positifs, avec a>b.
Dans un repère orthogonal (O;I,J), on considère (da), (db), H1, et H2 les courbes d'équations respectives : y=ax ,  y=bx ,  y=\frac{1}{x}  et  y=\frac{2}{x}  pour x>0

1) Exprimer les coordonnées des points d'intersection entre les droites (da), (db), et les hyperboles H1 et H2 en fonction de a et b.

2) Exprimer en fonction de a et b, l'aire du domaine grisé sur la figure.

Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie s'il vous plaît ?

Voici mes réponses pour la 1) :

Soit A, le point d'intersection entre H1: y=\frac{1}{x}   et (da):  y=ax

y :  \frac{1}{x} = ax \Leftrightarrow (\frac{1}{x})²=a \Leftrightarrow \frac{1}{x}=\sqrt{a} \Leftrightarrow \frac{1}{x}-\sqrt{a}=0

x :  \frac{1}{x} = ax \Leftrightarrow 1=ax² \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{a}}=x
Donc A (\sqrt{\frac{1}{a}} ; \frac{1}{x}-\sqrt{a})

B, le point d'intersection entre H2: y=\frac{2}{x}   et     (da):  y=ax

y: ax=\frac{2}{x}\Leftrightarrow a=\frac{2}{x²}\Leftrightarrow \frac{2}{x²}-a=0

x: ax=\frac{2}{x}\Leftrightarrow ax²=2 \Leftrightarrow x²= \frac{2}{a}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{2}{a}}
Donc B(\sqrt{\frac{2}{a}} ; \frac{2}{x²}-a)

C, le point d'intersection entre H2: y=\frac{2}{x}    et     (db): y=bx

y: bx=\frac{2}{x}\Leftrightarrow b=\frac{2}{x²}\Leftrightarrow \frac{2}{x²}-b=0

x: bx=\frac{2}{x}\Leftrightarrow bx²=2 \Leftrightarrow x²= \frac{2}{b}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{2}{b}}
Donc  C(\sqrt{\frac{2}{b}} ; \frac{2}{x²}-b)

Et D le point d'intersection entre  H1: y=\frac{1}{x}   et     (db): y=bx

y:\frac{1}{x} = bx \Leftrightarrow (\frac{1}{x})²=b \Leftrightarrow \frac{1}{x}=\sqrt{b} \Leftrightarrow \frac{1}{x}-\sqrt{b}=0

x:\frac{1}{x} = bx \Leftrightarrow 1=bx² \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{b}}=x
Donc D (\sqrt{\frac{1}{b}} ; \frac{1}{x}-\sqrt{b})

Et pour le 2) je pensais faire ceci :

Appelons H1, f(x)
H2, g(x)
(da), h(x)
et (db), i(x)

\int_{x_{A}}^{x_{C}}{(f(x)+g(x))-(i(x)+f(x))-(h(x)+g(x))} dx

Donc,

\int_{\sqrt{\frac{1}{a}}}^{\sqrt{\frac{2}{b}}}{(\frac{1}{x}}+\frac{2}{x})-(bx+\frac{1}{x})-(ax+\frac{2}{x})

Mais je suis pas trop sûr de moi pour ça

Merci d'avance !

Dm sur les aires et logarithme

Posté par
LeHiboure : Dm sur les aires et logarithme 02-11-18 à 00:07

Bonsoir,

A B, C, D sont faux, toutes les coordonnées en y sont fausses.
Par exemple, pour A, 1/x = ax donc x² = 1/a donc x = 1/a, mais ensuite y = ax donc y = a/a = a, donc A(1/a ; a)

L'intégrale est également fausse. Je te suggère de vérifier que l'abscisse de B est inférieure à l'abscisse de D, puis de décomposer l'intégrale en 3 parties :
- de l'abscisse de A à l'abscisse de B entre H1 et Da
- de l'abscisse de B à l'abscisse de D entre H1 et H2
- de l'abscisse de D à l'abscisse de C entre Db et H2
Sauf erreur de ma part

Posté par
Xenirisre : Dm sur les aires et logarithme 02-11-18 à 15:39

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu aussi vite !
Ah oui en effet, je me sens bête pour le coup ahah,
Donc j'ai refais, et on trouverait au final :

A(\frac{1}{\sqrt{a}};\sqrt{a})
B(\sqrt{\frac{2}{a}};a\sqrt{\frac{2}{a}})
C(\sqrt{\frac{2}{b}};b\sqrt{\frac{2}{b}})
D(\frac{1}{\sqrt{b}};\sqrt{b})

Pour la suite j'ai essayé de faire comme vous m'avez dit, seulement je ne suis pas vraiment convaincu par la première intégrale :

Donc x_{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}   et  x_{d}=\frac{1}{\sqrt{b}}

Sachant que plus le dénominateur sera grand, plus le quotient sera petit, et que a>b,
on a alors : \frac{1}{\sqrt{a}} < \frac{1}{\sqrt{b}}

\int_{x_{A}}^{x_{B}}{g(x)}dx

où g(x)=ax-(\frac{1}{x}+(\frac{2}{x}-(\frac{1}{x}+ax)))

\int_{x_{B}}^{x_{D}}{(\frac{2}{x}}-\frac{1}{x}) dx

\int_{x_{D}}^{x_{C}}{(\frac{2}{x}}-bx) dx

Pour la première je me suis aidé de géogébra mais elle me parait pas cohérente
merci


Posté par
LeHiboure : Dm sur les aires et logarithme 02-11-18 à 21:11

Effectivement, comme je te l'écrivais d'ailleurs dans mon premier post :

Citation :
- de l'abscisse de A à l'abscisse de B entre H1 et Da

Tu intègres bien entre xA et xB,
et l'intégrande est simplement ax - 1/x

Posté par
Xenirisre : Dm sur les aires et logarithme 03-11-18 à 15:53

D'accord, c'est super alors merci beaucoup !
Un petite dernière question et après ça sera bon
En cherchant la primitive de 1/x en intégrant entre xa et xb on trouve:

ln(\sqrt{\frac{2}{a}})-ln(\frac{1}{\sqrt{a}})

Il n'y a pas moyen de simplifier un peu plus ?

Posté par
LeHiboure : Dm sur les aires et logarithme 03-11-18 à 16:20

Je te rappelle que ln(a)-ln(b) = ln(a/b), et je te laisse proposer une simplification...

Posté par
LeHiboure : Dm sur les aires et logarithme 03-11-18 à 16:22

Et aussi ln(1/a) = ln(a)...

Posté par
LeHiboure : Dm sur les aires et logarithme 03-11-18 à 16:23

Oups ln(1/a) = - ln(a)...

Posté par
Xenirisre : Dm sur les aires et logarithme 05-11-18 à 00:43

Ah oui d'accord, nous n'avons eu aucun cours sur le logarithme du coup j'avoue être un peu perdu ahah,

Donc à la fin on trouve \int_{xA}^{xB}{(ax-\frac{1}{x})} = 1/2-ln(\sqrt{2}/a)

Je vous remercie infiniment pour votre aide, c'est super merci !


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