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DM sur les barycentre
Soit ABC un triangle non aplati. On pose BC=a>0, AC=b>0 et AB=c>0. Soit (D) la bissectrice de l'angle CAB. On admet que (D) coupe ]BC[ en A'. A' est appelé le pied de la bissectrice issue de A du triangle ABC. On pose α = 1/2 CAB (angle). Soit (Δ) la parallèle à (AA') passant par B.
1) Démontrer que (Δ) et (AC) sont sécantes. On notera I leur point de concours.
2) Démontrer que le triangle IAB est isocèle. Combien vaut la longueur AI.
3)Démontrer que BA'/BC= c/(b+c)
4)En déduire que A' est barycentre des points B et C affectés de coefficients à déterminer.
5) Soit B' et C' les pieds des bissectrices issues respectivement de B et C du triangle ABC.
Ecrire sans refaire le raisonnement mais en s'inspirant du 4), B' comme barycentre des points A et C, et C' comme barycentre des points A et B
6) Démontrer que le système {(A;a),(B;b),(C;c)} admet un barycentre noté G.
7) Démontrer que les trois bissectrices du triangle ABC sont concourantes.
J'arrive aucune questions. Aidez moi SVP
Bonjour
1) Démontrer que (Δ) et (AC) sont sécantes.
Propriété : Si 2 droites sont parallèles , et que l'une des 2 est sécante à une 3ème droite , l'autre l'est aussi .
2) Démontrer que le triangle IAB est isocèle. Combien vaut la longueur AI ?
angle A'AB = 
(AA') et (IB) sont parallèles
angle A'AB = angle ABI = car ce sont 2 angles alternes-internes
angle CAA' = angle AIB = car ce sont 2 angles correspondants
Donc angle AIB = angle ABI , et AIB triangle isocèle
D'où AI = AB = c
merci beaucoup. Avec ça je vais essayer de faire la suite. Par contre, si je n'y arrive pas, pourriez-vous m'aider une nouvelle fois s'il vous plait?
3)Démontrer que BA'/BC= c/(b+c)
On se sert des sécantes (CI) et (CB) coupées par les parallèles (AA') et (IB)
Thalès permet d'écrire CA/CI = CA'/CB , or BA' = BC - CA' d'où CA' = BC - BA' = a - BA'
d'où b/(b+c) = (a - BA')/a
Transforme cette expression jusqu'à l'obtention de BA'/BC= c/(b+c) ( BC = a , ne pas oublier ...)
4)En déduire que A' est barycentre des points B et C affectés de coefficients à déterminer.
A' est barycentre des points pondérés (B;m) et (C;n)
Ecris la relation avec m et n , puis écris BA' en fonction de BC
J'ai pas trop compris pour la question 3. Et pour la question 4 aussi
J'ai mis pour la question 4 mBA+nAC=(m+n)BC
Pour 3) oui , produit en croix . Est ce que tu as pu comprendre jusqu'à b/(b+c) = (a - BA')/a ?
Donc produit en croix : (a - BA')(b+c) = ab
En développant et en réduisant , on obtient bien BA'/BC = c/(b+c)
Pour 4) A' est barycentre des points pondérés (B;m) et (C;n)
mA'B + nA'C = 0 ( vecteurs )
mA'B + n(A'B+BC)= 0
......
......
BA'/ BC = n(m+n) et d'après la question précédente , c'est égal à c/(b+c)
D'où les coefficients de pondération m = ... et n = ...
en fait là, je viens de réussir la question 3. Je te mets mon calcul:
donc, comme tu l'as dit, on a (a-BA')(b+c)=ab
ab+ac-BA'b-BA'c= ab
les deux ab s'annulent
on a
ac = (b+c)BA'
ac/(b+c)= BA'
c/(b+c)= BA'/a
c/(b+c)= BA'/BC
et après la question 4 j'ai rien compris. Donc si tu pourrais m'expliquer tout en détail ce serait sympa
Bravo pour la 3) ! 
4)
Tu sais quelle relation vectorielle on peut écrire quand on a un barycentre de points pondérés ( sinon , reprends ton cours )
A' est barycentre des points pondérés (B;m) et (C;n)
mA'B + nA'C = 0 ( vecteurs )
mA'B + n(A'B+BC)= 0
(m+n)A'B + nBC =0
(m+n)A'B = -nBC
(m+n)BA' = nBC
BA'/ BC = n(m+n)
j'ai compris mon cours en fait. Mais quand il s'agit d'exercices je sait pas comment commencer. J'ai relu ton post et j'ai compris ce que t'as fait. Merci
Eh bien tu as d'une part BA'/ BC = n(m+n) (question 4) et d'autre part BA'/BC= c/(b+c) (question 3)
Que peux-tu conclure ?
5)
Ecrire sans refaire le raisonnement mais en s'inspirant du 4), B' comme barycentre des points A et C, et C' comme barycentre des points A et B
On sait que :
A' barycentre des points (B,b) et (C,c)
Si on refaisait le même raisonnement avec B' et C' , on trouverait assez logiquement :
B' barycentre des points (A,..) et (C,..)
C' barycentre des points (A,..) et (B,..)
Détermine ces coefficients ( on ne te demande pas de tout reprendre , c'est quand même un peu long ....)
en fait, faut que je refasse le même calcul mais avec B' et C'.
par exemple, je fais B' barycentre des points pondérés (A;p)(C;q)?
Oui , bien sûr mugiwara , si tu en as le temps ( dans ce cas , je te le recommande , cela permettra de t'exercer )
Ici , on peut écrire B' barycentre des points (A,a) et (C,c)
et C' barycentre des points (A,a) et (B,b)
6) Démontrer que le système {(A;a),(B;b),(C;c)} admet un barycentre noté G.
Ceci est équivalent à aGA + bGB + cGC = 0
On essaie d'utiliser les résultats des questions précédentes
aGA + bGB + cGC = 0
aGA + b(GA'+A'B) + c(GA'+A'C) = 0
aGA + (b+c)GA' + bA'B + cA'C = 0 (cette partie soulignée est nulle car A' barycentre des points (B,b) et (C,c))
Donc il reste aGA + (b+c)GA' = 0 ce qui signifie que le point G est barycentre de (A ; a) et de (A';(b+c))
On en conclut que G se trouve sur AA'
Fais de même en introduisant B' et C' et conclus .
Si G est simultanément sur ces 3 droites , c'est qu'il est à l'intersection des 3 droites .
Et on arrive à la question 7)
Ces 3 droites sont les 3 bissectrices du triangle ABC , donc on a démontré qu'elles étaient concourantes en G.
( Ce point est le centre du cercle inscrit dans le triangle )
alors j'ai juste a mettre que les droites (AA') (BB') (CC') sont des bissectrices
donc elles sont concourantes en un point g qui est le centre du cercle circonscrit
Oui , si tu as montré que G 
AA' , à BB' et à CC'
Bonne soirée et tardivement , bienvenue pour ta première visite sur l'île !
Oui, je n'ai pas la forme olympique ce soir ( un semblant de grippe ) ; alors dodo bien au chaud ...
Ton problème est résolu ; si tu as autre chose , ouvre un nouveau topic
j'ai un autre exo que j'arrive pas. Enfin une question d'un exo. Si quelqu'un pourrait m'aider.
On considère un quadrilatère ABCD, I et J les milieux respectifs de [AB] et [AD], et les points P et Q symétriques de B et D par rapport à C.
a) Ecrire P comme barycentre de B et C et Q comme barycentre de C et D.
j'ai trouvé que P= bar{(B,2)(C,-1)} et Q pareil.
b) vérifier que le système {(A,1),(B,1),(C,-2),(D,1) admet un barycentre noté G
J'ai répondu que 1+1-2+1 =/= 0 donc G existe et est unique.
c) Démontrer que I et J sont milieux respectifs de [QG] et [PG]
j'ai réussi a le prouver
d) Démontrer que le centre de gravité H du triangle ABD est sur la droite (GC. C'est la question que j'arrive pas
D'abord une précision : si tu as un nouvel exercice , il faut normalement le proposer dans un nouveau topic
a) on a PB = 2PC ( fais une figure )
donc PB-2PC = 0 P bary de (B;1) et (C;-2)
De même pour Q : Q bary de (D;1) et (C;-2)
d) H centre de gravité de ABD donc HA+HB+HD = 0 (1)
G bary de (A;1) (B;1) (C;-2) (D;1) donc GA+GB-2GC+GD = 0 (2)
On introduit G dans (1) et on obtient 3HG +GA+GB+GD = 0 (3)
D'après (2) GA+GB+GD = 2GC
(3) 3HG + 2GC = 0
3HG + 2GH + 2HC = 0
HG + 2HC = 0
On vient ainsi de montrer que H bary de (G;1) (C;2) et qu'il appartient pour cette raison à (GC)
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