Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Géometrie plane et dans l'espaceTopics traitant de Géometrie plane et dans l'espace [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

DM sur les Barycentres.

Posté par
matheux14 21-11-20 à 07:49

Bonjour ,

J'aimerais que vous m'aidiez à faire mon DM dont je n'arrive pas à faire.

Merci d'avance.

On considère le carré ABCD et les points \text{I} et \text{J} milieux respectifs de [BC] et [AD].

1) Déterminer le barycentre G du système \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}

2) Déterminer l'ensemble (A) des points M du plan tels que MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0.

3) Soit f l'application du plan qui a tout point M fait correspondre le point M' défini par : \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

Démontrer que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

Réponses

1) On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Considérons \text{I} le milieu de [BC] et \text{J} le milieu de [AD].

Donc \text{I}=bar \{(B , -3) ; (C , -3)\} et \text{J} =bar \{(A,1) ;(D,1)\}

Par barycentre partiel , il vient G=bar \{(\text{I}, -6) ; (\text{J} ,2)\}

D'où \vec{\text{I}G}=\dfrac{2}{2-6}\vec{\text{I}\text{J}}

\vec{\text{I}G}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{I}\text{J}}

2) Alors j'ai essayé d'introduire le point A via les vecteurs \vec{MB} , \vec{MC} et \vec{MD}.

Voilà :

M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MA}\vec{AB}-3\vec{MA}.\vec{MA}+\vec{AC}+\vec{MA}.\vec{MA}+\vec{AD}=0

\iff MA²-3MA²-3\vec{MA}.\vec{AB}-3MA²-3\vec{MA}.\vec{AC}+MA²+\vec{MA}.\vec{AD}=0

\iff -4MA²+\vec{MA}.(-3\vec{AB}-3\vec{AC}+\vec{AD})=0

Je ne vois plus comment faire maintenant..

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:21

Bonjour,
1) est bon.
Ce "déterminer" dans l'énoncé m'énerve. Le point G est déterminé comme barycentre.
Bon, c'est une de mes petites manies.
Tu peux aussi remarquer que G est le symétrique du centre du carré par rapport à J.

Pour 2), factorise par vecteur MA dès le début.

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:32

Citation :
Tu peux aussi remarquer que G est le symétrique du centre du carré par rapport à J.


C'est plutôt I non ?

DM sur les Barycentres.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:36

Oui, coquille

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:38

2) M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.\vec{MA}-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.(\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD})=0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:53

Tu n'as pas vu une propriété qui permet de transformer le second facteur ?
Sinon, transforme le en utilisant Chasles pour passer par G.

PS Si tu as vu le théorème du barycentre partiel, tu pouvais l'utiliser dans 1).

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:38

On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Donc \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GA}-3(\vec{MG}+\vec{GB})-3(\vec{MG}+\vec{GC})+\vec{MG}+\vec{GD}

=\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{MG}-3\vec{GB}-3\vec{MG}-3\vec{GC}+\vec{MG}+\vec{GD}

=-4\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}

=-4\vec{MG} car \vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}

Donc M\in (A) \iff \vec{MA}.(-4\vec{MG})=0

\iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:40

D'accord.
Tu peux terminer la question.

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:53

M\in (A) \iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Par conséquent , (A) est le cercle de diamètre [AG].

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:00

Oui
Tu peux passer à 3).

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:17

3) On a :  f : M \mapsto \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

On a montré à la question 2) que : \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=-4\vec{MG}.

Donc f : M \mapsto \vec{MM'}=-4\vec{MG}

f : M \mapsto\vec{MG}+\vec{GM'}=-4\vec{MG}

f : M \mapsto \vec{GM'}=-5\vec{MG}

f : M \mapsto \vec{GM'}=5\vec{GM}

Par conséquent f est l'homothétie h de centre G et de rapport k=5.

f=h(G ; 5)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:38

Parfait !
Cependant, ta notation avec " f : M \mapsto " fait croire que f(M) est le vecteur \vec{MM'} .

Je te conseille d'écrire \vec{MM'} = ... équivalent à ...

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:41

Ok , je vais faire la rédaction du tout pour que tu puisses voir ce qui ne va pas bien à ce niveau là.

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:55

1) On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Considérons \text{I} le milieu de [BC] et \text{J} le milieu de [AD].

Donc \text{I}=bar \{(B , -3) ; (C , -3)\} et \text{J} =bar \{(A,1) ;(D,1)\}

D'après le théorème du barycentre partiel , G=bar \{(\text{I}, -6) ; (\text{J} ,2)\}

D'où \vec{\text{I}G}=\dfrac{2}{2-6}\vec{\text{I}\text{J}}

\vec{\text{I}G}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{I}\text{J}}

Par conséquent G est l'image du centre du carré ABCD par la symétrie centrale de centre \text{I}.

2) M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.\vec{MA}-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.(\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD})=0

On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Donc \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GA}-3(\vec{MG}+\vec{GB})-3(\vec{MG}+\vec{GC})+\vec{MG}+\vec{GD}

=\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{MG}-3\vec{GB}-3\vec{MG}-3\vec{GC}+\vec{MG}+\vec{GD}

=-4\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}

=-4\vec{MG} car \vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}

Donc M\in (A) \iff \vec{MA}.(-4\vec{MG})=0

M \in (A) \iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Par conséquent , (A) est le cercle de diamètre [AG].

3) On a :  f : M \mapsto \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

On a montré à la question 2) que : \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=-4\vec{MG}.

Donc \vec{MM'}=-4\vec{MG}

\vec{MG}+\vec{GM'}=-4\vec{MG}

\vec{GM'}=-5\vec{MG}

\vec{GM'}=5\vec{GM}

Par conséquent f est l'homothétie h de centre G et de rapport k=5.

f=h(G ; 5)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 12:07

Seule la 1ère ligne du 3) n'est pas correcte.

f(M) = M' \iff \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

Posté par
matheux14re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 12:14

D'accord , merci et bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 13:36

Bonne journée à toi aussi


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !