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DM sur les Barycentres.

Posté par
matheux14
21-11-20 à 07:49

Bonjour ,

J'aimerais que vous m'aidiez à faire mon DM dont je n'arrive pas à faire.

Merci d'avance.

On considère le carré ABCD et les points \text{I} et \text{J} milieux respectifs de [BC] et [AD].

1) Déterminer le barycentre G du système \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}

2) Déterminer l'ensemble (A) des points M du plan tels que MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0.

3) Soit f l'application du plan qui a tout point M fait correspondre le point M' défini par : \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

Démontrer que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

Réponses

1) On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Considérons \text{I} le milieu de [BC] et \text{J} le milieu de [AD].

Donc \text{I}=bar \{(B , -3) ; (C , -3)\} et \text{J} =bar \{(A,1) ;(D,1)\}

Par barycentre partiel , il vient G=bar \{(\text{I}, -6) ; (\text{J} ,2)\}

D'où \vec{\text{I}G}=\dfrac{2}{2-6}\vec{\text{I}\text{J}}

\vec{\text{I}G}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{I}\text{J}}

2) Alors j'ai essayé d'introduire le point A via les vecteurs \vec{MB} , \vec{MC} et \vec{MD}.

Voilà :

M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MA}\vec{AB}-3\vec{MA}.\vec{MA}+\vec{AC}+\vec{MA}.\vec{MA}+\vec{AD}=0

\iff MA²-3MA²-3\vec{MA}.\vec{AB}-3MA²-3\vec{MA}.\vec{AC}+MA²+\vec{MA}.\vec{AD}=0

\iff -4MA²+\vec{MA}.(-3\vec{AB}-3\vec{AC}+\vec{AD})=0

Je ne vois plus comment faire maintenant..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:21

Bonjour,
1) est bon.
Ce "déterminer" dans l'énoncé m'énerve. Le point G est déterminé comme barycentre.
Bon, c'est une de mes petites manies.
Tu peux aussi remarquer que G est le symétrique du centre du carré par rapport à J.

Pour 2), factorise par vecteur MA dès le début.

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:32

Citation :
Tu peux aussi remarquer que G est le symétrique du centre du carré par rapport à J.


C'est plutôt I non ?

DM sur les Barycentres.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:36

Oui, coquille

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:38

2) M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.\vec{MA}-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.(\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD})=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 08:53

Tu n'as pas vu une propriété qui permet de transformer le second facteur ?
Sinon, transforme le en utilisant Chasles pour passer par G.

PS Si tu as vu le théorème du barycentre partiel, tu pouvais l'utiliser dans 1).

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:38

On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Donc \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GA}-3(\vec{MG}+\vec{GB})-3(\vec{MG}+\vec{GC})+\vec{MG}+\vec{GD}

=\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{MG}-3\vec{GB}-3\vec{MG}-3\vec{GC}+\vec{MG}+\vec{GD}

=-4\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}

=-4\vec{MG} car \vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}

Donc M\in (A) \iff \vec{MA}.(-4\vec{MG})=0

\iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:40

D'accord.
Tu peux terminer la question.

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 09:53

M\in (A) \iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Par conséquent , (A) est le cercle de diamètre [AG].

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:00

Oui
Tu peux passer à 3).

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:17

3) On a :  f : M \mapsto \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

On a montré à la question 2) que : \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=-4\vec{MG}.

Donc f : M \mapsto \vec{MM'}=-4\vec{MG}

f : M \mapsto\vec{MG}+\vec{GM'}=-4\vec{MG}

f : M \mapsto \vec{GM'}=-5\vec{MG}

f : M \mapsto \vec{GM'}=5\vec{GM}

Par conséquent f est l'homothétie h de centre G et de rapport k=5.

f=h(G ; 5)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:38

Parfait !
Cependant, ta notation avec " f : M \mapsto " fait croire que f(M) est le vecteur \vec{MM'} .

Je te conseille d'écrire \vec{MM'} = ... équivalent à ...

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:41

Ok , je vais faire la rédaction du tout pour que tu puisses voir ce qui ne va pas bien à ce niveau là.

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 11:55

1) On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Considérons \text{I} le milieu de [BC] et \text{J} le milieu de [AD].

Donc \text{I}=bar \{(B , -3) ; (C , -3)\} et \text{J} =bar \{(A,1) ;(D,1)\}

D'après le théorème du barycentre partiel , G=bar \{(\text{I}, -6) ; (\text{J} ,2)\}

D'où \vec{\text{I}G}=\dfrac{2}{2-6}\vec{\text{I}\text{J}}

\vec{\text{I}G}=-\dfrac{1}{2}\vec{\text{I}\text{J}}

Par conséquent G est l'image du centre du carré ABCD par la symétrie centrale de centre \text{I}.

2) M \in (A) \iff MA²-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.\vec{MA}-3\vec{MA}.\vec{MB}-3\vec{MA}.\vec{MC}+\vec{MA}.\vec{MD}=0

\iff \vec{MA}.(\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD})=0

On a G=bar \{(A ,1) ; (B,-3) ;(C,-3) ; (D,1)\}.

Donc \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=\vec{MG}+\vec{GA}-3(\vec{MG}+\vec{GB})-3(\vec{MG}+\vec{GC})+\vec{MG}+\vec{GD}

=\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{MG}-3\vec{GB}-3\vec{MG}-3\vec{GC}+\vec{MG}+\vec{GD}

=-4\vec{MG}+\vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}

=-4\vec{MG} car \vec{GA}-3\vec{GB}-3\vec{GC}+\vec{GD}=\vec{0}

Donc M\in (A) \iff \vec{MA}.(-4\vec{MG})=0

M \in (A) \iff \vec{MA}.\vec{MG}=0

Par conséquent , (A) est le cercle de diamètre [AG].

3) On a :  f : M \mapsto \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

On a montré à la question 2) que : \vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}=-4\vec{MG}.

Donc \vec{MM'}=-4\vec{MG}

\vec{MG}+\vec{GM'}=-4\vec{MG}

\vec{GM'}=-5\vec{MG}

\vec{GM'}=5\vec{GM}

Par conséquent f est l'homothétie h de centre G et de rapport k=5.

f=h(G ; 5)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 12:07

Seule la 1ère ligne du 3) n'est pas correcte.

f(M) = M' \iff  \vec{MM'}=\vec{MA}-3\vec{MB}-3\vec{MC}+\vec{MD}

Posté par
matheux14
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 12:14

D'accord , merci et bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les Barycentres. 21-11-20 à 13:36

Bonne journée à toi aussi



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