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Dm sur les fonctions
le 5-10-2011 à 18:15 # France
Salut à tous, j'ai un devoir à faire pour vendredi et je n'y arrive pas quelqu'un pourrait'il m'aidé?
Enoncé: On se propose de comparer: A= 1,0000002 et B = Racine de 1,0000004.
1) a) Calcule B avec la caculatrice. Qu'obtient-on ?
b) Vérifier qu'il existe un nombre réel a tel que :
A= 1 + a/2 et B = Racine de 1 + a.
2) On note f et g les fonctions définies sur [0,+00[ par :
f(x) = 1 + x/2 et g(x) = Racine de 1 + x
a) Pour tous nombre réel x de [0,+00[, comparer (f(x))² et (g(x))²
b) En déduire que, pour toutnombre réel x de 0,+00[, g(x) <<f(x)
3) a) Les nombre A et B sont-ils égaux? Lequel des deux est le plus grand?
b) Expliquer le résultat de la calculatrice.
Merci d'avance 
))
Et si ça c bon, cela voudrait dire que le valeur de B donnée par la calculatrice est une valeur approchée
Il faut utiliser la question 1b pour répondre.
racine de B = racine de 1+0.0000004
racine de 1=1 et racine de 0.0000004=0.0000002
donc racine de B= A
Ah d'accord merci mais si c la bonne réponse pourquoi dans la question 3)b) ils demandent lequel des deux est le plus grand ?
f(x) n'est pas supérieure ou égale a g(x) , si x est différent de 0 f(x) est strictement supérieure à g(x) et si x=0 alors f(x)=g(x)=1
Bonjour,
pour clore le débat :
racine de (1.0000004) = 1.0000001999999800000039999990000002799999160000263999914200028599990276003359... (ça ne se termine jamais)
(calculé avec Xcas)
les calculatrices ordinaires sont bien incapables de faire la différence entre ce nombre et 1.0000002
et l'exo consiste à faire ce qui est demandé (calculs de f et g etc) pour démontrer que A > B (strictement)
et que la calculatrice ne fait que des calculs approchés (toujours, cet exemple met le doigt dessus, mais c'est général)
sauf que tu n'as rien prouvé en fait
il faut préciser exactement dans quel cas f(x) = g(x) pour pouvoir affirmer que dans notre cas de A et B f(x) > g(x) strictement.
à ça que sert la question 1a, à exhiber la valeur de x pour permettre d'affirmer que A = f(a) > B = g(a) strictement
(dit par Foot00 à 17:05)
Ah d'accord..
Donc je réponds les nombres A et B sont égaux si x=0 mais A >B si x est différent de 0 en justifiant avec les fonctions f(x) et g(x) ?
c'est surtout que la valeur de x on la connait
c'est la connaissance de cette valeur qui permet de conclure
la connaissance que cette valeur de x est effectivement ≠ 0 et donc que pour cette valeur f(x) > g(x) strictement
la valeur de x c'est la réponse de la question 1b, c'est le nombre "a"
sinon tu n'as toujours rien démontré avec ton affirmation générale sur f(x) et g(x)
Oui mais ce que je trouve bizarre c que quand je remplace x par 0,0000004 dans les deux fonctions ça me donne le même résultat..
oui la valeur a de la question 1b
A = f(a), pas f(x)
B = g(a), pas g(x)
et comme on sait que f(x) est différent de g(x) (et même > strictement) quand x est différent de 0
et que a est bien effectivement différent de 0 puisque a = 0.0000004
alors f(a) > g(a) strictement
c'est ça qui permet de conclure, pas des généralités sur x
car f(a) c'est A et g(a) c'est B
on compare donc bien A et B et pas des trucs sans aucun rapport (des généralités avec des x)
ça me donne le même résultat..
combien de fois faudra-t-il te répéter que ta calculette donne des résultats FAUX car approchés
c'est l'analyse théorique et le raisonnement qui donne la vérité, pas la calculette
on ne calcule pas les valeurs numériques de f(a) et de g(a)
et surtout pas à la calculette !!!
on s'en fiche de leur valeur numérique
le raisonnement prouve que ces valeurs sont réellement différentes
et d'ailleurs je t'ai donné une valeur bien plus précise que avec n'importe quelle calculette de la vraie valeur de g(a) :
g(a) = 1.0000001999999800000039999990000002799999160000263999914200028599990276003359... (ça ne se termine jamais)
Et juste une toute dernière question,
Pour la question 2)b), si je mets :
"Comme (f(x)) au carré >=(g(x)) au carré alors f(x)>=g(x) "?
Ma réponse à la 3)a) :
On sait que A=f(a) et B=g(a).
Et comme on sait aussi que f(x)>g(x) quand x est différent de 0 et que a est bien effectivement différent de 0 puisque a=0,0000004, alors f(a)>g(a) donc A>B
pour la 2b tu dois justifier explicitement en considérant que c'est la définition de fonction croissante sur [0; +oo[ appliquée à la fonction X 
X2
la fonction carré est croissante sur [0; +oo[
veut très précisément dire que A² ≥ B² <==> A ≥ B
et donc ce qui est demandé est prouvé et pas affirmé sans justification en répétant juste l'énoncé comme un écho.
3a OK
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