Bonjour,
dérivée (u/v)=(u'v-v'u)/v²
dérivée( x±n )   n est une constante

ah d'accord du coup ça donnerait:

[(-2n)/(x-n)²]+e^-x

?

Tu as fait une erreur de signe  pour la dérivée de (x-n)/(x+n)

et pour le signe du coup?

il est vrai j'ai inversé la division...

donc ça donne
f'= [(2n)/(x+n)²] +e^-x

du coup pour le signe et la limite de la fonction ça serait quoi?

s'il vous plaît

pour le signe de f'
n est un entier  naturel et  que dire de la fonction exponentielle....
pour la limite
celle  du quotient  :mets x en facteur

pour  e^-x   quand x tend vers+∞  alors  - x tend vers ........  et  e^-x tend vers .......;

est-ce que le signe c'est toujours positif?

quand je mets x en facteur je tombe sur une FI pour la limite du quotient...

f'  positive oui
  tu mets x en facteur au numérateur et au dénominateur , tu réduis
tu n'obtiens pas  une FI

oui pardon j'avais oublié de réduire du coup le quotient tend ver 1 et e^-x tend vers 0. Ainsi le tout tend vers 1.
c'est ça?

OUI    la limite est 1

que trouves-tu pour  f_n(0)

j'ai trouvé -2

OK
pour les  variations de f que trouves-tu  ?

f est strictement croissante

du coup pour le reste?
Laquestion 2 je ne la comprends pas

2)

tu remplaces x par n
que trouves-tu ?

Mais ça donne 0/2n , ce qui n'est pas possible

et le signe de e^-n c'est positif parce que la fonction exp est strictement positive?

0/2n    or n≠0  donc 0/2n=......

e^-n c'est positif   OUI
  mais

f_n(n) est négatif parce que du signe de -e^-x

Pour la 3 je n'y arrive pas

3)
mets e^x+1 en facteur

ça donne :
e^x+1*[1-(2x)/(e^x+1) - 1/e^x+1]
Mais ensuite je n'arrive toujours pas à trouver les limites... je tombe sur une FI

parce que (2x)/e^x+1 c'est une FI non?

  tu sais que e^x/x  tend vers + quand x tend vers+

par conséquent

tend vers ....... quand x tend vers +

e^x+1 +

11

(2x)/e^x+1 0

1/e^x+1 0

donc 1-(2x)/(e^x+1)-1/e^x+1 1

Du coup la limite c'est +?

Ensuite pour la 3)b. je n'y arrive pas...
Je trouve que la dérivée c'est:
e^x+1-2

mais je ne sais pas comment démontrer que c'est strictement positif...

...

Ok pour la limite de g en+

g'(x)=e^x+1-2  OK
montre que g' est croissante  ( g"=........)
et s'annule pour   e^x+1=2
passe par  les ln  pour trouver la valeur  de x qui annule g  

Si je montre qu'elle est croissante cela justifiera qu'elle est positive?

oups j'ai oublié que tu l'étudies sur [0,+∞[ c'est plus simple...
   g''>0  ( à montrer) donc g 'est  croissante et g'(0)=...... tu en déduis le signe de g'

Merci
Du coup g(x) est strictement croissante.

et pour la c) je ne vois pas trop comment faire

OUI g est croissante sur [0,+[
g(0)=.......
n ≥1
tu en déduis que eⁿ⁺¹-2n-1..........

on en déduit que
eⁿ⁺¹-2n-1e²-1
?

tu en déduis le signe de  eⁿ⁺¹-2n-1
ce qui te permet de  répondre à la question .

Merci ^^
Du coup pour le signe de f_n(n+1) comment peut-on le déduire du fait que eⁿ⁺¹>2n+1   ?

   tu calcules  f_n(n+1) en remplaçant  x par n+1
rappels
e^-x=1/e^x
si 0<a<b  alors 0<1/b<1/a
  la réponse est à déduire de ce que tu viens de démontrer : eⁿ⁺¹>2n+1
  

Mercii j'ai compris ^^
Maintenant pour la 4 et la 5 je n'y arrives pas ...

4)
signe de f_n(n)
signe de f_n(n+1)
tu appliques le théorème  de la bijection, le TVI voir cours`
géogebra
f₁(1,543)=0

5)quand  n tend vers +∞  U_n tend n

...

Tu as terminé

La 4 oui mercii
La 5 par contre je ne comprends toujours pas '^^

5)tex]f_n(n)<f_n(u_n)<f_n(n+1)
n<u_n<n+1[/tex]
théorème des gendarmes

Merci beaucoup