bonjour

f(z)=2z+izz*=2z+i|z|²

f(z)=z => z=2z+i|z|² => z=-i|z|² => Re(z)=0 et Im(z)=0 => z=0 => O invariant

f(z)=-3i => 2z+i|z|²=-3i => 2z=i(-3-|z|²) => Re(z)=0 => 2y=-3-y² => y²+2y+3=0 => (y+1)²+2=0 => impossible

f(z)=2+i => 2z+i|z|²=2+i => 2z=2+i(1-|z|²) => Re(z)=1 => 2y=1-(1+y)² => y²+4y=0 => y(y+4)=0 => y=0 ou y=-4 => z=1 ou z=1-4i

Vérifie...

Philoux

1a.
f(z)=2(x+iy)+i(x+iy)
    =2x-y+i(2y+x)

X=2x-y
Y=2y+x

1b.
pts invariants tels que X=x et Y=y
d'ou le systeme d'equations {x=y et x=-y}
L'ensemble des points invariants est l'unique centre du repère z=0

1c.
f(z)=X+iY=-3i
d'ou le système {2x-y=0 et 2y+x=-3} auquel corresond l'unique solution z=-3/5-6i/5

1d.
f(z)=2+i
d'où le système {2x-y=2 et 2y+x=1}, l'unique solution est z=1

2a.
Si M appartient a d2, alors z(M)=iy, y quelconque
alors f(z(M))=2iy+y et n'appartient donc pas à d2

A priori soit y'aurait une erreur dans l'énoncé soit, j'ai loupé qqch, genre l'histoire du conjugué de z qui apparaît peut etre dans la formulation de f(z)...

Sylv'

RE

>ptitjean

La question est de savoir comment interpréter la formulation d'angélia :

f(z)= 2z+iz x le conjugué de z

est-ce f(z)= 2z+izz* comme je l'ai écrite ou f(z)= 2z+iz comme tu l'as écrite ?

Philoux

merci bcp en tt cas de m'aider, alors la formule c'est :
f(z) = 2z+iz x le conjugué de z
donc si z=x+iy, son conjugué est z(barre)= x-iy
donc la formule c'est f(z) = 2(x+iy) + i(x+iy)(x-iy)
voilà, dsl de m'être mal exprimé

ok merci

alors rapidement,

1a.
f(z)=X+iY=2(x+iy)+i(x+iy)(x-iy)
    =2x+i(2y+x²+y²)
X=2x
Y=2y+x²+y²

1b. f(z)=z
2x=x => x=0
2y+y²=y => y=0 ou y=-1

soit O invariant ou le point d'affixe z=-i

1c.f(z)=-3i
système {2x=0 et 2y+x²+y²=-3} donne {x=0 et y impossible, pas de solution dans
pour y}

1d. f(z)=2+i
système {x=1 et 2y+y²+1=1} d'où les couples {x=1, y=0} et {x=1, y=-1/2}

bonjour

Au vu des résultats de ptitjean (que je salue) qui infirment (en partie) les miens, je corrige selon ma méthode (sans développer) :

f(z)=2z+izz*=2z+i|z|²

f(z)=z => z=2z+i|z|² => z=-i|z|² => Re(z)=0 => iy=-iy² => Im(z)=0 ou Im(z)=-1 => z=0 ou z=-i => O invariant et A(0,-1)

f(z)=-3i => 2z+i|z|²=-3i => 2z=i(-3-|z|²) => Re(z)=0 => 2y=-3-y² => y²+2y+3=0 => (y+1)²+2=0 => impossible

Mais je ne suis pas d'accord avec ptitjean pour le d)
f(z)=2+i => 2z+i|z|²=2+i => 2z=2+i(1-|z|²) => Re(z)=1 => 2y=1-(1+y²) => y²+2y=0 => y(y+2)=0 => y=0 ou y=-2 => z=1 ou z=1-2i

Verifie...

Philoux

2a. soit M appartenant à 2, alors z(M)=iy, y quelconque

d'où f(z(M))=2iy+iy²=i(2y+y²)
z(M) imaginaire pure at M' appartient à 2
f(2) est inclus dans 2

2b.
N(0,y), image d'un point de 2 M(u,v) ssi
{2u=0, 2v+v²+u²=y} possède une ou plusieurs solutions
ssi
{u=0 et v²+2v-y=0} possède une ou plusieurs solutions
ssi
4+4y0, soit y-1

2c.
l'image de 2 est donc l'ensemble [-1, +[

effectivement philoux (je te salue aussi), petite erreur de ma part en d.
Faut-il etre un peu fatigué pour écrire que la solution de 2+y=0 est y=-1/2...

il faalit bien lire {x=1, y=0} et {x=1, y=-2}

suite et fin

3a.
Soit M appartenant à 1 alors z(M)=x, x quelconque

f(z(M))=2x+ix²
Soit M' l'image de M, M'=X+iY
Alors X=2x et Y=x²
en remplacant x, on obtient que les coordonnées des points images vérifient Y=X²/4 et l'ensemble des points M' appartient à cette belle parabole

3b.
Soit N(x,y) un point de la parabole, x et y appartenant à
Si N est l'image d'un point de 1 M(u,0) alors
{2u=x et u²=y}
donc u=x/2 et y positif ou nul, ce qui est déjà établi par le fait que N appartienne à la parabole et donc que y=x²/4

Donc tout point de la parabole est image d'un point de 1 d'affixe z=x/2

rq: ca fait longtemps que j'ai pas touché à tout ça, j'ai plus l'impression d'etre très rigoureux dans l'explication, lol...

3c.
de a, on a F(1) inclus dans la parabole
de b, on a F^-1() inclus dans 1
d'où l'image de 1 est la parabole entièrement...

Bon courage pour la fin de l'année scolaire
Sylv'.

Merci bcp à vous, Sylvain et philoux pour m'avoir aider, j'ai pu rendre mon DM!!!