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Niveau seconde
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DM sur les nombres premiers

Posté par
MaitreZ
01-03-21 à 15:55

Bonjour, excusez moi de vous dérangez, j'ai çe DM à faire en cours de maths voici l'énoncé:
En premier plan, un tableau où apparaissent tout les nombres premiers compris entre 2 et 997

1) en observant ce tableau, quelle remarque peut on formuler sur l'écart entre deux nombres premiers consécutifs ?

2) on considère le nombre :

M=1001x1000x999x998x...x5x4x3x2

A)démontrer que M+2 est divisible par 2

B)demontrer que M+3 est divisible par 3

C)démontrer que pour tout k entier compris entre 2 et 1001, le nombre M+k est divisible par k

D) en déduire qu'il existe deux nombres premier séparés par 1000 nombres entiers consécutif non premiers

3) en s'inspirant du raisonnement tenu à la question 2, démontrer que l'on peut toujours trouver deux nombres premiers consécutifs séparés par autant de nombres enitets consécutifs non premiers que l'on veut.

J'ai réussi le premier exercice en disant que l'écart est toujours pair sauf entre 2 et 3 car le seul nombre premier pair est 2 et que la différence entre deux nombres impair et obligatoirement pair, entre autres ce sont ce écarts la pour les 1000 premiers: 1,2,4,6,8,10,12,14,18.

Par contre je n'ai pas du tout compris la deuxième partie si quelqun pouvait m'aider je le remercie d'avance. (DM à faire pour la rentréé).
Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 16:30

Bonjour,

le premier exercice la première question du même exercice.
en effet ta réponse ... hum... bof

on remarque surtout que l'ecart est variable
que à part 2 et 3 qui sont séparés de 1
les nombres premiers successifs seront certes séparés d'un nombre pair
mais surtout de divers écarts pairs

la question 2 a pour but de prouver que cet écart (pair) peut prendre n'importe quelle valeur aussi grande qu'on veut

démontrer que M+2 est divisible par 2 est immédiat :

M+2 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 2 = 2(1001x1000x999x998x...x5x4x3 + 1)
pareil pour la suite etc.

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 18:05

D'accord merci beaucoup pour votre réponse rapide et pour votre correction, juste pour la fin concernant le:
M+2 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 2 = 2(1001x1000x999x998x...x5x4x3 + 1)
J'avoue ne pas comprendre comment on passe d'une addition à une factorisation par 2.
Pourriez vous m'apporter quelques précisions si possible? Je vous remercie grandement pour le travail déjà effectué et pour vos réponses prochaines...

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 18:14

2A + 2 = 2(A+1) est du niveau collège de base...

M+2 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 2
= Ax2 + 2

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 18:59

Ah oui vu qu'il y a le X2 à la fin on peut donc factoriser, excuser moi je n'avais pas compris, veuillez pardonner ma bétise.

J'écris donc pour la version finale de mon DM ceci?

1: La remarque que nous pouvons formuler concernant l'écart entre des nombres premiers consécutifs c'est qu'a part entre 2 et 3 qui sont séparés par 1 tous les autres nombres premiers successifs ont un écart pair car ce sont tous des nombres impairs à part 2 et que la différence entre 2 nombres impair et toujours pair. Il y a diverse écart pair et dans les 1000 nombres premiers ce sont: 1 (entre 2 et 3) et 2,4,6,8,10,12,14 et 18.

2
A: On démontre que M+2 est divisible par 2 car M+2 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 2 = 2(1001x1000x999x998x...x5x4x3 + 1) on peut donc faire une factorisation par 2.

B: On démontre que M+3 est divisible par 3 avec exactement la même méthodologie:
M+3 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 3 = 3(1001x1000x999x998x...x5x4x3 + 1) on peut donc faire une factorisation par 3.

C: Pour démontrer que M+k est divisible par k pour tout k entier compris entre 2 et 1001, je m'appuie sur mes résultats précédents et je sais que tous les nombres compris entre 1001 et 2 inclus sont multipliés dans M alors k est obligatoirement un nombre compris dans M on peut donc faire une factorisation suivant le même exemple que dans le A et B de a question 2 pour M+k.

3:Euh je me rends compte que pour moi ce n'est pas si clair car on ne peux pas seulement dire que le nombre doit être supérieur a M... Pourriez vous me mettre sur la voie du dernier raisonnement si cela ne vous dérange s'il vous plait. Et me dire si la rédaction et bonne? Merci pour tout et merci d'avance

Posté par
co11
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 19:25

Bonsoir,
peut-être je m'incruste ? Dis-moi mathafou
Pour 2) A) B) C)  M est divisible par 2, 3 ....   donc ....

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 19:32

M+3 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 3 = 3(1001x1000x999x998x...x5x4x2 + 1)
(on "extrait" le 3, et le 2 est toujours là)

tu as sauté la question :
D) on vient de démontrer que entre ce nombre entier M (qui n'est certes pas premier, mais on s'en fiche) et le nombre entier M+1001 (pas premier non plus) il n'y a aucun nombre premier (on peut tous les factoriser par quelque chose)

donc un écart entre le nombre premier qui précède M et le nombre premier qui suit M+1001 de au moins ??

nécessaire avant de passer à la question :
3) on (imagine que on) fait pareil avec le nombre qu'on veut au lieu de s'arrêter à 1001

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 20:14

1: La remarque que nous pouvons formuler concernant l'écart entre des nombres premiers consécutifs c'est qu'a part entre 2 et 3 qui sont séparés par 1 tous les autres nombres premiers successifs ont un écart pair car ce sont tous des nombres impairs à part 2 et que la différence entre 2 nombres impair et toujours pair. Il y a diverse écart pair et dans les 1000 nombres premiers ce sont: 1 (entre 2 et 3) et 2,4,6,8,10,12,14 et 18.

2
A: On démontre que M+2 est divisible par 2 car M+2 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 2 = 2(1001x1000x999x998x...x5x4x3 + 1) on peut donc faire une factorisation par 2.

B: On démontre que M+3 est divisible par 3 avec exactement la même méthodologie:
M+3 = 1001x1000x999x998x...x5x4x3x2 + 3 = 3(1001x1000x999x998x...x5x4x2 + 1) on peut donc faire une factorisation par 3.

C: Pour démontrer que M+k est divisible par k pour tout k entier compris entre 2 et 1001, je m'appuie sur mes résultats précédents et je sais que tous les nombres compris entre 1001 et 2 inclus sont multipliés dans M alors k est obligatoirement un nombre compris dans M on peut donc faire une factorisation suivant le même exemple que dans le A et B de a question 2 pour M+k.

D: On vient de démontrer qu'entre le nombre M et le nombre M+1001 il n'y avait aucun nombre premier car on peut tous les factoriser par quelque chose. Un écart d'au moins 1001 nombre entier plus que 1000.

3: On s'inspire du raisonnement utilisé dans la question 3 puis on va jusqu'au nombre désiré au lieu de 1001.

Voila je crois que je c'est finis à part peut être quelque erreurs de rédaction ou autres et pour une fois je comprends quelque chose en maths donc vraiment merci merci merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 20:33

bien.

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 01-03-21 à 21:04

Merci

Posté par
ty59847
re : DM sur les nombres premiers 02-03-21 à 01:07

M+k est la somme de 2 multiples de k (M est un multiple de k, et k est évidemment un multiple de k).
Donc M+k est un multiple de k.


Par contre , de M a M+1001, en comptant les 2 extrémités, il y a 1002 nombres.  Et non pas 1001.
M n'est pas premier, ok.
De M+2 à M+1001, il y a 1000 nombres, dont aucun n'est premier ( c'est le résultat des questions précédentes).
Notre séquence de 1000 nombres composés consécutifs, elle est là, de M+2 à M+1001.

Vous avez mis M+1 dans le lot. Vous avez dit que M+1 n'était pas premier.
Non. On ne sait pas du tout si M+1 est premier ou pas.  Dans les questions précédentes, on n'a jamais étudié le cas de M+1. Et d'ailleurs, comme il n'est divisible ni par 2 , ni par 3 ,... ni par 1001, ça lui donne quand même des chances non-négligeables d'être premier.

Faut se concentrer un peu... ça suffit pour éviter des étourderies comme ça.

Posté par
carpediem
re : DM sur les nombres premiers 02-03-21 à 12:23

salut

vu l'objectif de l'exercice la réponse à la question 1/ est peu pertinente ...

dire que 3 - 2 = 1 ou que l'écart entre deux nombres premiers (autres que 2) est pair sont des trivialités ...

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 04-03-21 à 15:07

D'accord merci à tous pour ces dernières indications.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM sur les nombres premiers 04-03-21 à 18:55

Bonjour,
Une petite précision pour

Citation :
il n'y avait aucun nombre premier car on peut tous les factoriser par quelque chose
Tout nombre entier N peut être factorisé par 1 et par N.
Je propose de compléter :
" il n'y avait aucun nombre premier car on peut tous les factoriser par quelque chose d'autre que 1 et eux-même "

Posté par
MaitreZ
re : DM sur les nombres premiers 04-03-21 à 20:41

Oui merci c'est vrai que ça parait tellement logique qu'on en oublie de l'écrire



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