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DM sur les produits scalaires

Posté par Gh0sT (invité) 06-04-05 à 14:42

Bonjour, je vous demande de m'aider pour la  2e question, j'ai fait la premiere mais je bute sur celle la.

Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].

Montrer que pour tout point du plan
vect(MA) . vect(MC) = MI²-(AC²)/4 et vect(MB) . vect(MD) = MJ² - (BD²)/4

Déterminer l'ensemble des points M tels que vect(MA) . vect(MC) = vect(MB) . vect(MD) quand ABCD n'est pas un parallélogramme.

Posté par
Nightmarere : DM sur les produits scalaires 06-04-05 à 14:52

Salut

Je te montre l'exemple pour le premier , essayes de reproduire pour le reste :

\vec{MA}\cdot\vec{MC}=\(\vec{MI}+\vec{IA}\)\cdot\(\vec{MI}+\vec{IC}\)
\vec{MA}\cdot\vec{MC}=MI^{2}+\vec{MI}\cdot(\underb{\vec{IA}+\vec{IC}}_{=\vec{0}})+\vec{IA}\cdot\vec{IC}
ie
\vec{MA}\cdot\vec{MC}=MI^{2}+\vec{IA}\cdot\vec{IC}

Or , A , I et C sont alignés dans cet ordre et I milieu de [AC] donc
\vec{IA}\cdot\vec{IC}=-||\vec{IA}||\times||\vec{IC}||
\vec{IA}\cdot\vec{IC}=-\frac{1}{2}AC\times\frac{1}{2}AC
\vec{IA}\cdot\vec{IC}=-\frac{AC^{2}}{4}

Au final :
\vec{MA}\cdot\vec{MC}=MI^{2}-\frac{AC^{2}}{4}


Jord

Posté par Gh0sT (invité)re : DM sur les produits scalaires 07-04-05 à 18:23

Merci, mais c'est vraiment cette derniere question que je n'arrive pas a faire et personne dans ma classe n'y est arrivé non plus, alors si quelqu'un pouvait m'aider ca serait bien sympa

Posté par Gh0sT (invité)re : DM sur les produits scalaires 14-04-05 à 20:33

SVP !!! Y a personne qui peut trouver ???

Posté par
Nightmarere : DM sur les produits scalaires 14-04-05 à 20:47

Re

Bon , tu auras prouvé que :
\vec{MA}\cdot\vec{MC}=MI^{2}-\frac{AC^{2}}{4}
et
\vec{MB}\cdot\vec{MD}=MJ^{2}-\frac{BD^{2}}{4}

De cela , la derniére question devient :

Trouver l'ensemble des points M tels que :
MI^{2}-\frac{AC^{2}}{4}=MJ^{2}-\frac{BD^{2}}{4}
ie tels que :
MI^{2}-MJ^{2}=\frac{AC^{2}}{4}-\frac{BD^{2}}{4}

Pour tout point M :
MI^{2}-MJ^{2}=\(\vec{MI}-\vec{MJ}\)\cdot\(\vec{MI}+\vec{MJ}\)
MI^{2}-MJ^{2}=\vec{JI}\cdot\(\vec{MI}+\vec{MJ}\)

En notant K le milieu de [IJ] :
\vec{MI}+\vec{MJ}=2\vec{MK}

On en déduit :
MI^{2}-MJ^{2}=2\vec{MK}\cdot\vec{JI}

On est donc ammené à chercher les points M tels que :
2\vec{MK}\cdot\vec{JI}=\frac{AC^{2}}{4}-\frac{BD^{2}}{4}
c'est à dire tels que :
\vec{MK}\cdot\vec{JI}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}

En notant H le point de (IJ) tel que \bar{HK}\times\bar{IJ}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}

On a :
\vec{HK}\cdot\vec{JI}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}

On peut écrire :
\vec{MK}\cdot\vec{JI}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}
<=>
\vec{MH}\cdot\vec{JI}+\vec{HK}\cdot\vec{JI}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}
soit
\vec{MH}\cdot\vec{JI}=0

D'où M est la droite perpendiculaire à (IJ) passant par H .

En résumé :
4$\rm\fbox{\begin{tabular}I milieu de [AC]\\J milieu de [BD]\\K milieu de [IJ]\\H point de (IJ) tel que \bar{HK}\times\bar{IJ}=\frac{AC^{2}}{8}-\frac{BD^{2}}{8}\\\Longrightarrow M est la droite \perp (IJ) passant par H\end{tabular}}


jord

Posté par
la chimistere : DM sur les produits scalaires 14-04-05 à 20:53

T'as besoin d'aide pour la 2ème ou la 3ème question ?

Posté par
la chimistere : DM sur les produits scalaires 14-04-05 à 20:54

je crois que c'est règlé !!

Posté par Gh0sT (invité)re : DM sur les produits scalaires 15-04-05 à 21:30

Oui, merci beaucoup !!!!!

Posté par
Nightmarere : DM sur les produits scalaires 15-04-05 à 21:49


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