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Niveau terminale
DM sur les produits scalaires
Posté par Gohan
Bonjour à toutes et à tous ! J'ai un exercice de DM qui porte sur les produits scalaires, les plans dans l'espace et tout ça. Et à vrai dire j'ai absolument rien compris à ce chapitre, sauf quelques bases. Je vous laisses donc l'énnoncé, en vous remerciant par avance de votre aide !
L'espace est rapporté au repère orthonormé (O ; 
;
; 
)
1. (P1) est le plan d'équation x+2y+z-3=0
a. Determiner les coordonnées des points A1, B1 et C1 intersections respectives de (P1) avec les axes (O ; ), (O ;) et (O ; ) du repère. Les placer dans le repère et colorier en bleu le triangle A1B1C1
Pour A1 : On a (O ; ) qui verifie :
Donc le point A1 verifie l'equation :
Donc x = 3 Donc A1 (3;0;0)
Pour B1 : On a (O ; ) qui verifie :
Donc le point B1 verifie l'equation :
Donc y = 3/2 Donc B1 (0;3/2;0)
Pour C1 : On a (O ; ) qui verifie :
Donc le point C1 verifie l'equation :
Donc z = 3 Donc C1 (0;0;3)
b. En déduire l'intersection de (P1) et du plan de base (O;;) (justifier)
Aucune idée ..
2. On donne les points A2(5;0;0), B2 (0;3;0) et C2(0;0;2)
a. Justifier que A1, B1 et C1 ne sont pas alignés
vecteur(A1B1) (-5;3;0) et Vecteur(A1C1) (-5;0;2)
Les coordonnées de ces vecteurs ne sont pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires, et les points ne sont donc pas alignés.
b. Placer A2, B2 et C2 dabs yb repére et colorier en vert le triangle A2 B2 C2
c. On note (P2) le plan (A2 B2 C2) donner un vecteur normal de (P2). En deduire une équation cartesienne de (P2)
(-5;3;0) et
(-5;0;2) Soit
B (a;b;c)
Ainsi on prend a=2 b=1 et c=1 on a : B (2;3/5;2/5)
L'equation cartesienne de P2 est de la forme : 2x-3/5y+2/5z+d=0
Le point A2 appartient à P2 donc ses coordonnées verfient l'équation : 2(5)-3/5(0)+2/5(0)+d=0 10 = -d donc d=-10
Une équation cartésienne de P2 est donc 2x-3/5y+2/5z-10=0
3. Soit M l'intersection des droites (A1C1) et (A2C2) et soit N l'intersection des droites (B1C1) et (B2C2)
a. Justifier l'existence de M et N et les placer
b. Justifier que (MN) est l'intersection de (P1) et (P2)
c. Donner un système d'equation parametrées de (MN)
Voilà je vous remercie par avance de votre réponse !
1.b. Après tes calculs de 1.a., tu connais les coordonnées de deux points de cette intersection.
2.c. Il me semble que, si a est égal à 2 , on a 3b = 2c = 10, d'où b = 10/3 et c = 5 .
Bonjour ! 
Donc (2;10/3;5) ?
Pour la 1.b on connait A1 ; B1 ; C1 ; O ; ;
Je dois faire les équations des deux plan puis calculer un vecteur normal pour chacun des plans et montrer qu'ils ne sont pas colinèaires. Puis je dois verifier le système des deux équations en prenant x en paramètre par exemple. C'est ça ?
1.b. Les points utiles sont A1 et B1.
2.c. Vecteur n : oui.
A quelle question se rapportent tes deux dernières lignes ?
Les deux dernières lignes étaient pour la 1.b
Mais si les deux points utiles sont A1 et B1 je vois pas ce que je dois faire ?
Oui. Plus précisément, ces deux points appartiennent au plan P1 et au plan (O; i; j) qui a pour équation z = 0.
D'accord ! Merci !
Pour la 2.c du coup l'équation cartesienne c'est :
L'equation cartesienne de P2 est de la forme : 2x+10/2y+5z+d=0
Le point A2 appartient à P2 donc ses coordonnées verfient l'équation : 2(5)+10/3(0)+5(0)+d=0 10 = -d donc d=-10
Une équation cartésienne de P2 est donc 2x+10/3y+5z-10=0
Pour les question 3.a.b.c je sais pas quoi faire ?
3.a. Si tu fais un schéma, tu pourras voir que les droites A1C1 et A2C2 sont coplanaires et non parallèles. De même pour les droites B1C1 et B2C2.
b. Montre que les points M et N appartiennent chacun aux plans P1 et P2.
c. Calcule d'abord les coordonnées des points M et N.
D'accord !
Pour la 3.b si je prends l'equation des points et que je regardes si les coordonnées de M et N fonctionnent c'est correct ou pas ?
Bah, je remplaces les x, y et z des équations par les coordonnées des points et je vérifie que ça donne bien 0 ?
3.b. Il serait plus simple de dire que chacun des points M et N appartient à deux droites qui appartiennent elles-mêmes respectivement aux plans P1 et P2.
Bonjour !! Désolé de ma réponse tardive ^^'
Merci bien pour la 3.b
Pour la 3.c. je devrais trouver le vecteur directeur de MN puis etablir un système. Mais je n'ais pas les coordonnées des points M et N donc je dois les calculer je suppose ? ^^'