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dm sur les suites , pour jeudi (ts)

Posté par zephir (invité) 17-09-04 à 11:50

J'ai 3 exercices dans mon DM mais un en particulier que je n'arrive pas à résoudre.Voici l'énoncé:
Le segment AB a pour longueur a.Soit M1 le milieu de AB, M2 le milieu du segment BM1, M3, le milieu du segment M1M2...Mn , le milieu du segment Mn-2Mn-1.
Démontrer par récurrence que:
AMn=a+somme de p=1 à p=n (-1)^p*a*(1/2^p),

Merci à tous ceux qui pourront m'aider ou au moins me donner une piste.ET bon courage à tous ceux qui planchent sur un DM de ce genre!

Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 13:57

BONJOUR Zephir

Démontrer par récurrence que:
AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

3 Etapes toujours :

1) Montrons que la propriété est vrai au rang 1 :
AM1 = a/2  puisque M1 est le milieu de AB

selon la propriété on a :
AM1 = a + (-1)1 * a * 1/21
AM1 = a - 1/2 *a
AM1 = a/2
"CQFD"

La propriété est donc vérifiée au rang 1

2) Montrons que la propriété est vrai au rang n+1...
Posons que la propriété est vraie au rang n

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

TENTONS TOUT D'ABORD DE TROUVER UNE EXPRESSION DE AMn+1 en fonction de AMn
Par construction On doit avoir :
- Si n est impair alors:
AMn+1 = AMn + MnMn+1
- Si n pair alors
AMn+1 = AMn - MnMn+1

Autrement dit AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
(Pour être tout à fait rigoureux, voire un  peu zélé, il faudrait faire une démonstration par récurrence)

--> CHERCHONS ALORS UNE EXPRESSION DE MnMn+1 en fonction de a
MnMn+1 = 1/2 Mn-1Mn  (cf. énoncé)
De plus on sait que
AM1 = 1/2 AB <=> AM1 = 1/2 a
On reconnaît une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme a
Ainsi MnMn+1 = a*(1/2)n+1

NOUS AVONS DONC :
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 * a *(1/2)n+1

Or NOUS AVONS PAR HYPOTHESE

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

Donc
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)+[(-1)^{(n+1)} \times a\times(1/2){(n+1)}]

C'est-à-dire
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n+1}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

CQFD

CONCLUSION :
- Propriété vraie au rang 1
- Propriété vraie au rang n+1 pour n vraie
Donc la propriété est vérifiée
THE END : CQFD

NB :je trouve que cet énoncé pose de vrais problèmes de rédaction si l'on veut rester à la fois rigoureux et efficace...

Voilà,
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 14:10

Boudu mais keski c'est passé!!! Y a eu comme oune pb enfin je reposte donc...

BONJOUR Zephir

Démontrer par récurrence que:
AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

3 Etapes toujours :

1) Montrons que la propriété est vrai au rang 1 :
AM1 = a/2  puisque M1 est le milieu de AB

selon la propriété on a :
AM1 = a + (-1)1 * a * 1/21
AM1 = a - 1/2 *a
AM1 = a/2
"CQFD"

La propriété est donc vérifiée au rang 1

2) Montrons que la propriété est vrai au rang n+1...
Posons que la propriété est vraie au rang n

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

TENTONS TOUT D'ABORD DE TROUVER UNE EXPRESSION DE AMn+1 en fonction de AMn
Par construction On doit avoir :
- Si n est impair alors:
AMn+1 = AMn + MnMn+1
- Si n pair alors
AMn+1 = AMn - MnMn+1

Autrement dit AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
(Pour être tout à fait rigoureux, voire un  peu zélé, il faudrait faire une démonstration par récurrence)

--> CHERCHONS ALORS UNE EXPRESSION DE MnMn+1 en fonction de a
MnMn+1 = 1/2 Mn-1Mn  (cf. énoncé)
De plus on sait que
AM1 = 1/2 AB <=> AM1 = 1/2 a
On reconnaît une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme a
Ainsi MnMn+1 = a*(1/2)n+1

NOUS AVONS DONC :
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 * a *(1/2)n+1

Or NOUS AVONS PAR HYPOTHESE

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

Donc
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)+[(-1)^{(n+1)} \times a\times(1/2){(n+1)}]

C'est-à-dire
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n+1}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

CQFD

CONCLUSION :
- Propriété vraie au rang 1
- Propriété vraie au rang n+1 pour n vraie
Donc la propriété est vérifiée
THE END : CQFD

NB :je trouve que cet énoncé pose de vrais problèmes de rédaction si l'on veut rester à la fois rigoureux et efficace...

Voilà,
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 14:14

AIe ouille lol.... Ji crois ji viens di comprendre... Boudu ce latex... donc comme on dit jamais 2 sans
3...
a tout donc avec la bonne version lol (Ouah le délire... je t'ai fait du Latex pour les dix prochaines années!!!) (Si l'un de nos webmasters pouvaient faire qqch?!


Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 14:16

BONJOUR Zephir

Démontrer par récurrence que:
AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

3 Etapes toujours :

1) Montrons que la propriété est vrai au rang 1 :
AM1 = a/2  puisque M1 est le milieu de AB

selon la propriété on a :
AM1 = a + (-1)1 * a * 1/21
AM1 = a - 1/2 *a
AM1 = a/2
"CQFD"

La propriété est donc vérifiée au rang 1

2) Montrons que la propriété est vrai au rang n+1...
Posons que la propriété est vraie au rang n

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

TENTONS TOUT D'ABORD DE TROUVER UNE EXPRESSION DE AMn+1 en fonction de AMn
Par construction On doit avoir :
- Si n est impair alors:
AMn+1 = AMn + MnMn+1
- Si n pair alors
AMn+1 = AMn - MnMn+1

Autrement dit AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
(Pour être tout à fait rigoureux, voire un  peu zélé, il faudrait faire une démonstration par récurrence)

--> CHERCHONS ALORS UNE EXPRESSION DE MnMn+1 en fonction de a
MnMn+1 = 1/2 Mn-1Mn  (cf. énoncé)
De plus on sait que
AM1 = 1/2 AB <=> AM1 = 1/2 a
On reconnaît une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme a
Ainsi MnMn+1 = a*(1/2)n+1

NOUS AVONS DONC :
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 MnMn+1
AMn+1 = AMn + (-1)n+1 * a *(1/2)n+1

Or NOUS AVONS PAR HYPOTHESE

AMn=a+\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

Donc
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n}(-1)^p\times a\times(1/2^p)+[(-1)^{(n+1)} \times a\times(1/2){(n+1)}]

C'est-à-dire
AMn+1 = a +\bigsum_{p=1}^{n+1}(-1)^p\times a\times(1/2^p)

CQFD

CONCLUSION :
- Propriété vraie au rang 1
- Propriété vraie au rang n+1 pour n vraie
Donc la propriété est vérifiée
THE END : CQFD

NB :je trouve que cet énoncé pose de vrais problèmes de rédaction si l'on veut rester à la fois rigoureux et efficace...

Voilà,
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 14:17

OUAIS OUF

Posté par
Océane Webmaster
re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 17:23

Ca y est Guille, tout est rentré dans l'ordre

Posté par guille64 (invité)re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 17-09-04 à 22:25

Oui merci... ca faisait po propre... Ca faisait un peu comme si l'encre avait bavée... brrrrkkkk

Bon du coup Zephir : tu as 3 fois la même corrections... alors po le droit de dire que tu comprends po !

à bientôt,
bisensûr dire si pb
Merci encore Océane

Guille64

Posté par zephir (invité)merci Guille 64, mais g besoin d explication ! 22-09-04 à 15:33

salut Guille 64! Je te remercie beaucoup pour ton aide, mais un pb persiste; il y a une partie où je ne comprends pas: ct qd il fallait montrer par récurrence que :AMn=a+somme(de p=1 à N) (-1)^p * a * (1/2^p)

Le début, avec AM1=a/2 , pas de pb, mais là où je comprends pas, c'est qd il faut montrer que la propriété vraie au rang n+1.qd tu dis trouver une expression de AMn+1 en fonction de AMn, avec si n est pair ou si n est impair, comment tu peux prouver tes résultats?
Je te remercie de me répondre!

*** message déplacé ***

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 22-09-04 à 16:38

Zephir, à lire stp.

Posté par zephir (invité)merci guille 64, mais je comprends pas tout! 22-09-04 à 18:26

merci beaucoup pour le temps que tu as pris pour me répondre, ça m'a bien aidé en plus.Simplement, il y a un endroit où je ne comprends pas .
il fallait montrer que AM1=a+somme(de p=1àn)(-1)^P*a*(1/2^P)
Le début j'ai compris, avec Am1=a/2, mais c'est après, quand tu montres que c'est vrai au rang n+1, je comprends comment tu fais quand tu dis que c'est égal à AMn+MnMn+1 quand n impair et égal à AMn-MnMn+1 quand n pair.Tu pourrais me donner d'autres explications?¨POur le reste , impeccable, je te remercie, en fait on peut le rendre samedi, donc tu peux me donner la réponse jusque vendredi (ms jeudi serait le mieux, voire ce soir!).Meric d'avance!

*** message déplacé ***

Posté par
Océane Webmaster
re : dm sur les suites , pour jeudi (ts) 22-09-04 à 18:30

desolée!
posté par : zephir 18:15
Je m'excuse, je ne savais pas, mais merci de me l'avoir dit!

Visiblement tu as vite oublié ce que tu as dit



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