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dm sur limite de fonction pour lundi a l aide je suis perdu
salut a tous! j'ai un enorme problem avec mon dm! j'ai
commencé a trouver des choses mais je nage complet!
voici mes 2 exo
ex1
1) soit f une fonction definie sur ]0;+infini[, verifiant lim lorsque
x tend vers +infini =+ infini
nous devons etudier la lim des fonctions suivantes quand x tend vers +inf
(on peut eventuellement distinguer plusieurs cas)
g(x)=3f(x)/(3+f(x)) h(x)=f(x)/(3+(f(x)²))
i(x)=(x+(f(x))/x j(x)=xf(x)/(x+f(x))
k(x)=(x+f(x))/(x²+f(x))
2)montrer qu'un polynome P de degré n, defini par:
P(x)=a indice n foi x puissance n +a indice n-1 foi x puissance n-1+......+a
indice 1 foi x+a indice 0
avec a indice n different de 0, a meme limite, en +inf et en -inf, que
son terme de plus haut degré a indice n foi x puissance n
3)soit f la fonction definie par :
f(x)=[(m²-m)x²+2mx+1]/[(m-1)x²+x-2]
etudier, selon les valeurs de m, la limite en +inf de f(x)
ex2
on considere un cercle de rayon r, 2 points A et B distincts de ce cercle,
et m l'intersection(quand elle existe)des tangentes au cercle
en A et B.L'angle geometrique OAB a une mesure, en radians,
egale a x.
1)a quel interval doit appartenir x pour que le point M existe?
on se placera desormais dans cette situation.
2)on appelle S(x) l'aire du triangle ABM et T(x) l'aire
du secteur du disque limité par le segment [AB] et le petit arc de
cercle AB.Montrer que :
S(x)=0.5r²tan²(x/2)sinx et T(x)=0.5r²(x-sinx)
3)on appelle R(x) le rapport T(x)/S(x)
on veut calculer la lim de R(x) quand x tend vers 0, puis vers pi
a) on observ avec la calculette et on conjecture
b)calculer lim de R(x) quand x tend vers pi
c)montrer que limite de R(x) quand x tend vers 0=3/2
merci d'avance pour vos reponses! a bientot
ex 1
lim(x->oo) g(x) = lim(x->oo) [3f(x)/f(x)] = 3.
lim(x->oo) h(x) = lim(x->oo) [f(x)/((f(x))²)] = lim(x->oo) [1/(f(x))] = 0
lim(x->oo) i(x) = lim(x->oo) [1 + (f(x) /x] = 1 + oo/oo indétermination qu'il
est impossible de lever sans connaitre f(x).
Par exemple si f(x) = kx (avec k > 0), on a lim(x->oo) i(x) = k + 1
mais si f(x) = x², on a lim(x->oo) i(x) = oo
et si f(x) = V(x), on a lim(x->oo) i(x) = 1
lim(x->oo) j(x) = oo
lim(x->oo) k(x) = indétermination qu'il est impossible de lever sans connaitre
f(x).
Par exemple si f(x) = x, on a lim(x->oo) k(x) = 0
mais si f(x) = mx²(avec m > 0), on a lim(x->oo) k(x) = m/(m+1)
mais si f(x) = mx³(avec m > 0), on a lim(x->oo) k(x) = m
---------------
2)
P(x) = a_(n).x^n + a_(n-1).x^(n-1) + ... a_(1).x + a_(0).
x^n = (x^(n-1)).x
si n-> +/- oo, on a donc |x^n| infiniment plus grand que |x^(n-1)| et
donc le terme en x^(n-1) peut être négligé devant le terme en x^n.
On peut par le même raisonnement montrer que tous les termes de puissance
en x inférieure à n sont négligeable devant le terme en x^n.
Donc pour x -> +/- oo, on a P(x) -> a_(n).x^n
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3)
f(x)=[(m²-m)x²+2mx+1]/[(m-1)x²+x-2]
f(x)=[m(m-1)x²+2mx+1]/[(m-1)x²+x-2]
Si m est différent de 0 et de 1 , m(m-1) est différent de 0 -> avec
le point 2 de l'exercice:
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [m(m-1)x²]/[(m-1)x²] = m.
Si m = 0 ->
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [1]/[(-1)x²+x-2] = 1/(-oo) = 0
Si m = 1
lim(x-> +oo) f(x) = lim(x-> +oo) [2x]/[x] = 2
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Sauf distraction, vérifie.
ex 2
1)
M existe toujours sauf si A et B sont diamétralement opposés, car alors
les tangentes sont //.
Donx c = Pi + 2kPi acec k entier est interdit.
Si on limite l'angle entre 0 et 2Pi ce qui est légitime, un angle
de Pi est interdit.
Il y a encore un angle singulier, x = 0 (ou 2Pi) fait que A et B sont
confondus, les 2 tangentes sont donc confondues et le point M est
n'importe où sur la (les) tangentes.
(Il faut voir si cette situation est ou non permise.
On a donc x dans [0 ; pi[ U ]Pi ; 2Pi] ou bien x dans ]0 ; pi[ U ]Pi
; 2Pi[ compte tenu de la remarque ci-dessus.
2)
Problème de vocabulaire: ce que tu appelles secteur du disque et en fait un
segment de disque (le secteur c'est autre chose).
L'aire du triangle AOB = (1/2).AO.OB.sin(AOB)
L'aire du triangle AOB = (1/2).r².sin(x)
Aire de la partie de cercle comrise entre les 2 rayons aboutissant à A
et à B et le petit arc AB (cela c'est ce qu'on appelle
normalement un secteur):
= Pi.r² . (x/2Pi) = r²x/2
-> T(x) = r²x/2 - [(1/2).r².sin(x)]
T(x) = 0,5r²(x - sin(x))
Pour S(x), cela ne me saute pas au yeux et donc je laisse tomber.
3)
R(x) = 0.5r²(x-sinx) / [0.5r²tan²(x/2)sinx]
R(x) = (x-sinx) / [tan²(x/2)sinx]
a)
si x -> 0 , R(x) -> 0,666
Si x -> Pi, R(x) -> 0
b)
lim(x-> Pi) R(x) = lim(x-> Pi) [x / [tan²(x/2)sinx]
pas le courage mais cela fait 0.
tan²(x/2)sinx = [sin²(x/2) / cos²(x/2)].2sin(x/2).cos(x/2) = 2sin³(x/2) / cos(x/2)
développement limité de sin(x) = x - x³/6
lim(x->0) R(x) = lim(x->0) [(x - x + x³/6)cos(x/2)/(2.((x/2) - (x/2)³/6)³)]
lim(x->0) R(x) = lim(x->0) [(x³/6)/(2x³/8)] = 8/12 = 2/3
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Sauf distraction.
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