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Niveau maths sup
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DM sur matrices irréductibles

Posté par
math71
23-04-19 à 12:03

Bonjour,
Je sèche sur une des questions d'un DM sur les matrices irréductibles. Je commence par vous résumer les premières questions que j'ai faites. Je vous précise que je suis en  MPSI et que nous venons juste de commencer les matrices et que je ne sais pas ce qu'est un  spectre (je précise car en cherchant sur internet avec les mots "matrices irréductibles" ça parlait chaque fois de spectre ce que je ne connais pas)

Le pb commence par dire qu'une matrice A de Mn(IR) est positive si tous ces coefficients sont positifs ou nuls, et qu'elle est strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On dit également que A est réductible s'il existe un entier p entre 1 et n-1 et p vecteurs de la base canonique (e1,..., en ) tel que le sev qu'ils engendrent est stable par a l'endomorphisme canoniquement associé à A. Si A n'est pas réductible, on dit qu'elle est irréductible.
Le but du pb est de montrer que si A est une matrice positive de Mn(IR), on a l'équivalence suivante:
A est irréductible si et seulement si (Id+A)n-1 est strictement positive.
Dans une première question on a étudié qq exemples pour n = 2 et 3.
Dans une 2ème partie, on a montré que A est réductible si et seulement si il existe p entre 1 et n-1, P une matrice de permutation de GLn(IR), B une matrice de Mn-p(IR), C une matrice de Mp,n-p(IR) et D une matrice de Mp(IR) telles que
A = P( B 0) P-1
              C  D
En fait, c'est une matrice ou il y a les blocs B et 0 en haut et en-dessous C D
Puis il a fallu montré que s'il existe k dans IN* tel que Ak est strictement positive alors A est irréductible.
Puis montrer que la réciproque est fausse.
Dans une 3ème partie, on a toujours A qui est positive et on considère un vecteur colonne de IRn qui a p composantes strictement positives et les autres nulles. dans un premier temps on nous fait montrer que (Id+A)X possède au-moins p+1 composantes strictement positives. Voilà, jusque là j'ai tout réussi à faire.
Question suivante que je n'arrive pas à faire, je dois montrer que si A est positive, on a l'implication:
si A est irréductible alors (Id+A)n-1 est strictement positive.
J'ai commencé par dire que j'applique ce que j'ai fait à la question précédente au vecteur (Id+A)X donc (Id+A)2X a au-moins p+2 composantes strictement positives, et ainsi de suite (Id+A)n-pX a toutes ses composantes strictement positives et ceci pour tout vecteur colonne X qui a p composantes strictement positives, les autres nulles. J'imagine que je dois trouver des vecteurs X qui me permettront de montrer que les coefficients de(Id+A)n-1 sont strictement positifs, mais je ne vois pas lesquels, il y a quand même n2 coefficients!

Après cette question, il y a encore une 4ème partie, mais j'en parlerai quand cette question sera finie...
Merci d'avance à qui pourra me donner un coup de pouce pour continuer!

Posté par
Poncargues
re : DM sur matrices irréductibles 23-04-19 à 14:13

Les vecteurs de la base canonique ont combien de coefficients positifs quand on prend leur image par (1+A)^{n-1}?

Posté par
math71
re : DM sur matrices irréductibles 23-04-19 à 18:19

Ah mais oui! Merci!
Avec mon raisonnement précédent, (Id+A)n-1ej posséde n composantes strictement positives càd toutes, or il s'agit de la jème colonne de (Id+A)n-1, et ceci est valable pour toutes valeur j de 1 à n, donc (Id+A)n-1 a toutes ses composantes strictement positives, ce qui prouve que c'est une matrice strictement positive.

maintenant, je vous donne ma question 4
Soit A une matrice positive. on suppose que (Id+A)n-1 est strictement positive.
1. Montrer que pour tout couple (i,j) de [|1:n|]2 avec i distinct de j, il existe k entre 1 et n-1 tel que le terme d'indice ij de Ak soit strictement positif.
2. Montrer que si A est réductible alors il existe un couple (i,j) avec i distinct de j tel que pour tout k plus grand ou égal à 1 on ait le terme d'indice ij de Ak = 0.
3. En déduire que si A est positive, on a l'implication suivante:
si (Id+A)n-1>0 alors A est irréductible.
(pour cette question pas de pb, il s'agira de combiner les résultats des 2 questions précédentes.)
4. Expliquer en quoi le fait qu'une matrice A soit réductible peut être utile dans la résolution du système linéaire AX=Y.

Pour le 1., j'ai pensé que comme Id et A commutent je peux utiliser le binôme de Newton pour calculer (Id+A)n-1.
Comme c'est une matrice strictement positive, tous ses coefficients, que j'appelle cij, sont strictement positifs., or
cij = sigma de k allant de 0 à n de (k parmi n-1).terme d'indice ij de Ak.
Par hypothèse cij>0, or A est positive donc pour tout k entier,  Ak est positive et donc le sigma précédent est une somme de termes positifs, donc forcément il y en a un au-moins qui est non nul . or (k parmi n) sont tous des nombres strictement positifs.
et donc pour tout (i,j), il existe un k entre 1 et n-1 tel que le terme d'indice ij de Ak est non nul.
Il doit y avoir une erreur dans mon raisonnement mais je ne vois pas où, car je ne trouve pas que cela doit être vrai pour i et j distincts comme le dit l'énoncé.
Merci de m'aider encore une fois.

Posté par
math71
re : DM sur matrices irréductibles 23-04-19 à 18:22

Première erreur repérée (mais ça ne change rien en général) c'est dans le sigma il faut bien entendu s'arrêter à n-1 et non n.

Posté par
Poncargues
re : DM sur matrices irréductibles 23-04-19 à 20:09

Ton raisonnement est bon.

Posté par
math71
re : DM sur matrices irréductibles 24-04-19 à 09:36

Merci d'avoir pris le temps de lire.
En fait pour k=0, A[tex]^k(/tex)=Id donc le terme d'indice ij vautij, c'est sûrement pour cela que l'énoncé demandait "pour tout couple (i,j) de [|1:n|]2 avec i distinct de j, il existe k entre 1 et n-1 tel que le terme d'indice ij de Ak soit strictement positif. " Donc pour enlever le cas k=0, je dois prendre i et j distincts.

Je sollicite encore votre aide pour le 2.
J'ai pensé utiliser la négation du résultat trouvé dans la fin de la question 2 du DM à savoir puisque A est réductible alors pour tout k de IN*, A^k n'est pas srictement positif et donc
pour tout k de IN*, il existe un couple (i,j) tel que le terme d'indice ij de A^k soit nul.
Le pb c'est que l'énoncé demande que il existe un couple (i,j) tel que l'on ait le résultat ci-dessus pour tout k... Ce n'est donc pas ainsi qu'il faut prendre le pb. Avez-vous une idée de comment je dois démarrer s'il vous plait?

Posté par
math71
re : DM sur matrices irréductibles 25-04-19 à 11:29

Bonjour,
Personne n'a une idée pour m'aider?
Je rappelle que je suis bloqué à la question suivante:
2. Montrer que si A est réductible alors il existe un couple (i,j) avec i distinct de j tel que pour tout k plus grand ou égal à 1 on ait le terme d'indice ij de A^k = 0.  J'ai écrit ce que j'avais tenté de faire dans mon post précédent. Merci d'avance pour toute aide éventuelle.

Posté par
Poncargues
re : DM sur matrices irréductibles 26-04-19 à 08:29

Utilises la décomposition en matrice triangulaire inférieure par blocs.

Posté par
math71
re : DM sur matrices irréductibles 26-04-19 à 08:46

Merci. Je vais essayer.

Posté par
Poncargues
re : DM sur matrices irréductibles 26-04-19 à 09:51

Tu auras aussi besoin de comprendre ce que devient une matrice quand tu la conjugues par une matrice de permutation (la réponse est quasi dans la question).

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