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Niveau terminale
DM sur un polynôme de degré 5
Posté par Charles01
Bonsoir,
j'ai T(x) =
je dois montrer que T(cos x) = cos(5x)
j'ai d'abord essayé de montrer avec les formules cos(4x + x) mais ça ne m'a rien apporté. J'ai essayé de remplacé x par pi/5 sachant qu'après ils demandent de déduire cos(pi/5) = racine de a (a une racine ).
qqun pourrait m'aider? je suis en TS
Merci
Sur géogébra je trace cos4x cos x - sin 4x sin x
et je trouve le même résultat que
je ne comprends pas pourquoi, mais surtout comment montrer que cela est égal à T(cos x)?
merci
En fait si tu veux ce genre de polynômes s'appellent des polynômes de Tchebytchev dans le sup, tu pourrais facilement l'appliquer sur les formules. Mais ici on te demande de le faire intuitivement sans aucune formule. Essaye de tâtonner et écris ce que t'a fait pour voir où tu en es?
Bonjour,
il est plus important de bien connaitre ses formules trigo de base !
de savoir que cos(pi+x) = -cos(x) etc pour éviter d'écarquiller les yeux sur une formule du genre -cos((2pi+10x)/2) sans comprendre ce qu'elle veut dire vraiment.
cet exo peut se faire :
soit en passant en complexes (message de ThierryPoma), en développant (a+b)^5 etc
soit "de proche en proche"
avec cos(2*(2x) + x) et les formules d'additions et de duplication
ne pas oublier que sin² = 1-cos² pour remplacer tous les sinus par des cosinus...
Bonsoir,
On a vu la formule de Moivre en maths aujourd'hui et ça facilite les choses !
Je pense faire
Cela est-il correct?
Merci
Bonsoir,
Oui,c'est correct.
Je pensais à une autre solution montrer que :T(cos(u)=cos(5u) est vérifié pour 6 valeurs:
par exemple:
Le polynôme P5est alors unique,
Est-ce valable?
Alain
Après réflexion j'ai décidé de faire (cos(x)+isin(x))^5 et utiliser la formule cependant je tombe sur un calcul super long et je suis pas sur que c'est ça. Il faut bien faire
salut
il est alors aisé de finir la factorisation ... puisque 20 < 25 ...
or T(cos x ) = cos (5x)
et si on prenait x = pi/10 ?
connaissant alors le cosinus de pi/10 il est aisé d'avoir le cosinus de son double ....
carpediem @ 20-12-2017 à 20:32
salut
![T(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x = x(16x^4 - 20x^2 + 5) = x [(4x^2 - \dfrac 5 2)^2 - \dfrac 5 4] = \cancel{x(4x^2 - 5 - 2 \sqr 5)(4x^2 - 5 + 2\sqrt 5) =} ...](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?T(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x = x(16x^4 - 20x^2 + 5) = x [(4x^2 - \dfrac 5 2)^2 - \dfrac 5 4] = \cancel{x(4x^2 - 5 - 2 \sqr 5)(4x^2 - 5 + 2\sqrt 5) =} ...)
il est alors aisé de finir la factorisation ... puisque 20 < 25 ...
or T(cos x ) = cos (5x)
et si on prenait x = pi/10 ?
connaissant alors le cosinus de pi/10 il est aisé d'avoir le cosinus de son double ....
salut
il est alors aisé de finir la factorisation ... puisque 20 < 25 ...
or T(cos x ) = cos (5x)
et si on prenait x = pi/10 ?
connaissant alors le cosinus de pi/10 il est aisé d'avoir le cosinus de son double ....
Bonsoir,
tu ne dois garder que la partie réelle de
tu remplaces b par i sin(x); tu remplaces et tu ne gardes que les termes réels
salut carpediem: n'est-ce pas plus logique de partir de l'exponentielle au lieu de transformer le résultat?
mon raisonnement est une alternative qui permet de se passer des complexes ... donc originale ... (ouais bof ... unu peu !!! 
) ... méthode classique par l'exponentielle complexe et autre formule de Moivre ... 
ici coup de bol j'arrive à factoriser donc avoir les racines du polynome ... dont une des racines est cos pi/10
j'ai utilisé les complexes j'ai partie imaginaire et partie réelle. je néglige la partie imaginaire ou pas? merci
je trouve
je pense que je me suis trompé qqpart?
pour la partie imaginaire j'ai factorisé par i, je ne l'ai pas prise en compte plus haut.
merci
@Alb12 : Tu penses que l'initiateur a besoin de ce logiciel à la con pour avancer ? Moi, j'ai besoin de son cerveau ; c'est tout !
Citation :
j'ai tout trouvé sauf pour le cos^5 si je comprends bien, (1-cos^2x)^2 fait (1-2cos^2x+cos^4x)?
j'ai tout trouvé sauf pour le cos^5 si je comprends bien, (1-cos^2x)^2 fait (1-2cos^2x+cos^4x)?
ben oui c'est de la forme (a-b)²
ah non en fait j'ai mal lu mon calcul c'était bel et bien correct ce que je venais de faire. Merci c'était très gentil de m'avoir aidé. Je dois en déduire que cos(pi/5) = racine(a) avec a (3+racine(5))/8. Je pensais faire T(cos pi/5) et je devrais trouver racine (a) non?
j'ai pas besoin d'utiliser un calculateur il faut que je trouves sur feuille, et puis c'est pas parce que vous avez un capes que vous pouvez me prendre de haut
calcule ,la factorisation est plus simple
soit
quand tu auras la valeur de il sera facile de trouver
Bonjour,
Je rappelle la solution que j'avais proposée:
Un polynôme de degré n est défini lorsque l'on en connait n+1 points distincts:
ici, nous pouvons montrer que P5(x) correspond bien au polynôme
passant par 6 points : .
On choisira ui pour faciliter le calcul de cos(5ui )
Les polynômes P_n(x) vérifient :
Alain
Le polynôme