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DM Tangentes cercle et parabole
Voici le sujet
r désigne un réel strictement positif
P est une parabole d'équation y=x^2-3 et le cercle C de centre O et de rayon r
Il me faut caractériser les cas de tangence et en déduire la valeur du rayon r, ainsi que les coordonnées des points de contact dans ce ou ces cas.
J'ai le système (S) qui traduit les points d'intersection du cercle C et de la parabole P:
x^4-5x^2+9-r^2=0 (E)
y=x^2-3
J'ai trouvé que l'équation E admettait soit 0, 2, 3 ou 4 solutions comme le nombre de points d'intersection.
J'ai déjà trouvé les coordonnées de deux points lorsque r=racinecarrée de 11/4
Je sais aue ces points sont communs au cercle et à la courbe mais je ne sais pas si la courbe et le cercle admettent une tangente commune en ce point. Pour cela il me faut dériver les équations de la parabole et du cercle mais je ne sais pas dériver l'équation de cercle x^2+y^2=r^2
Bonjour,
Tu ne sais pas que la tangente en un point M du cercle est perpendiculaire à quelque chose ?
Donc, si M(a,b) est un point du cercle, alors le vecteur de coordonnées (-b,a) est un vecteur directeur de la tangente en M au cercle.
En fait, il est plus simple de considérer un point M(x,y) sur le cercle et la parabole.
La tangente (T) à la parabole a pour coefficient directeur f '(x) .
f '(x) = 2x. D'où les coordonnées d'un vecteur directeur de (T) : (1, 2x).
Pour que (T) soit aussi tangente au cercle, il faut et il suffit que (T) soit perpendiculaire à (OM) .
A traduire par un produit scalaire.
Les points A(-racinecarrée de 5/2;-1/2) B(racinecarrée de 5/2;-1/2) et C(0;3) sont les trois points de tangence
Oui, il y a deux cercles de centre O tangents à la parabole.
Pour le produit scalaire :
Le vecteur OM a pour coordonnées (x,y) et un vecteur directeur de (T) a pour coordonnées (1,2x) .
La droite (T) est tangente au cercle de centre O et de rayon OM si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux.
C'est équivalent à 1
x + 2xy = 0 .
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