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DM terminale S
Bonjour, j''ai un DM de maths sur les exponentielles à faire mais j'ai un peu de mal.
Voici l'énoncé :
Soit k lR+* et la fonction f(k) définie sur lR par :
fk(x)= e-kx²
On appelle courbe de Gauss la courbe représentative de fk dans un repère orthogonal et on la note Ck.
1. Démontrer que fk est paire c'est-à-dire que, pour tout réel x, on a : fk(-x)=fk(x)
Qu'en déduit-on pour Ck ?
2. Soit a et b deux réels strictement positifs.
Démontrer que : ab
fa
fb.
3.(a) Déterminer f''k
(b)Résoudre l'équation f''k(x)=0
4. Dans cette question, on s'intéresse au cas où k=
(a) Déterminer >0 tel que f''k(
)=0
(b) Déterminer une équation de la tangente à C
au point I d'abscisse 1.
(c) Justifier que est de part et d'autre de C
au niveau du point I.
On dit que I est un point d'inflexion de C.
5. Démontrer que toute courbe de Gauss admet deux points d'inflexion d'abscisses solutions de l'équation f''k(x)=0
6.Démontrer que tous les points d'inflexion des courbes de Gauss sont alignés. On justifiera le plus précisément possible sa réponse.
Donc voilà l'énoncé maintenant je vais vous montrer ce que j'ai fait :
1. fk(-x)=e-k(-x)²
Or un carré est toujours positif
Donc, fk(-x)=e-kx²
fk(-x)= fk(x)
La fonction fk est donc paire.
On peut en déduire que Ck sera toujours positive, peu importe la valeur de x.
2. Pour celle-ci je n'ai pas compris comment faire.
3. fk(x) est définie et dérivable sur lR
f'k = -2kx*e-kx²
f''k=-2ke-kx²+4k2x2e-k²
Je me suis arrêté là car je ne sais pas si ma dérivé est juste.
Merci d'avance pour votre aide.
Bonjour,
Ta conclusion du 1 est mauvaise : la parité montre autre chose...
Pour le 2 , penses à l'etude du sens de variation d'une fonction.....
Bonjour, merci de votre aide.
Donc pour la conclusion de la question 1, j'ai mis : Comme Ch est paire, on peut en déduire qu'elle sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Voici la question 2 :
Soit a et b deux réels positifs et ab
alors, fa(x)=e-ax² et gb(x)=e-bx²
Sachant que ab, alors -ax²
-bx² car le résultat est négatif.
Ainsi, e-ax²e-bx²
Voilà j'espère que cela est juste.
Bonjour je n'ai pas eu de réponses...
Quelqu'un d'autre pourrait-il m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
je ne vois pas de fonction g_b dans ton problème
"car le résultat est négatif". n'est pas une justification correcte, fais des démonstrations rigoureuses !
Bonjour, merci de votre aide.
Donc pour la conclusion de la question 1, j'ai mis : Comme Ch est paire, on peut en déduire qu'elle sera symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Voici la question 2 :
Soit a et b deux réels positifs et a
alors, ga(x)=e-ax² et gb(x)=e-bx²
Sachant que a
Ainsi, e-ax²
Voilà j'espère que cela est juste.
Bonjour, merci de votre réponse. Je vais essayer de produire une réponse plus rigoureuse comme vous me l'avez conseillé.
Quant à la fonction gb, c'est une erreur de ma part, c'est bien la fonction fb.
Excusez-moi.
Merci pour votre aide
Bonjour.
Pour la question 3, ton calcul est juste. Simplement, factorise un peu le résultat, ce sera utile plus tard.
Question 4 : pas épouvantable. Pour la question 4.b, tu chercheras le signe de la différence entre y=f1/2(x) et l'équation de 
.
Question 5 : facile en utilisant la forme factorisée de f"[sub]k[/sub](x).
En toute rigueur, tu devrais montrer que si 
k est solution de f"k(x)=0 alors f'''k
0.
A +
Pour la question 2, j'ai réussis à justifier de façon correcte :
ab
-a
-b
-ax²
-bx²
e-ax²
e-bx²
fa(x)
fb(x)
Ainsi, si a b alors, fa
fb
Merci thierry45mada pour ton aide, je m'avance sur les questions et je te fais part de mes résultats !
Bonjour, voilà mon avancement :
Soit k=
4-a) Avec le tableau de signe dressé à la question 3, on en déduit facilement la solution à l'inéquation >0 tel que f''
(x)=0
S={ ]- ; -1 [ U ]1 ; +
[ }
4-b) Pour la tangente, je trouve :
y=-e0.5x+e0.5+e-0.5
y= e0.5(-x+1)+e-0.5
4-c) f(x)-
(la tangente)
e-0.5x²-(-e0.5x+e0.5+e-0.5)
=e0.5*(x-1)+e-0.5x²-e-0.5
Voilà, après je suis bloqué. Je sais qu'il faut étudier le signe mais je ne vois pas comment exploiter le résultat...
Pourriez-vous m'expliquer ?
Merci d'avance.
4a) et 4b) sont exacts. Bravo.
Pour 4c) voilà une proposition:
Appelle E(x) l'écart : E(x) = e-0,5x²+e0,5x-e0,5-e-0,5.
Vérifie que E(1)=0
Calcule E'(x). Exprime E'(1).
Si E'(1)=0 on ne peut rien dire
Si E'(1)0, à toi d'en déduire pourquoi la courbe traverse en x=1
A +
Bonjour, je rectifie la question 4 (b). Je me suis rendu compte que j'avais fait une erreur pour la tangente.
Voilà mon nouveau résultat :
y=-e-0.5*(x-1)+e-0.5
y=-e-0.5x+e-0.5+e-0.5
y=-e-0.5x+2e-0.5
y=e-0.5(-x+2)
Car je trouve pour f'0.5(1)=-e-0.5
Confirmez-vous ?
Je confirme. C'est juste.
Ensuite, mon poste d'hier à 21:46 est toujours valable, sauf que l'écart est maintenant E(x)=e-0,5x²+e-0,5(x-2). La suite du raisonnement est bon.
A +
Bonjour, malgré mes tentatives, je n'arrive toujours pas à résoudre la 4-c)
Je pose E(x), l'écart entre f(x) et
E(x)=e-0.5x²+e-0.5x-2e-0.5
E(x)=e-0.5x²+e-0.5(x-2)
Puis je vérifie E(1)=0
E(1)=e-0.5*1²+e-0.5(1-2)
E(1)=0
Mais je ne sais pas quoi en conclure.
Je calcule ensuite la dérivée de E(x)
Je trouve : E'(x) = -xe-0.5x²+e-0.5(x-1)
Ainsi je calcule E'(1) et je trouve -e-0.5
Donc E'(1)0
Voilà j'ai tous mes résultats mais je ne sais pas quoi en faire.
J'ai pensé à étudier le signe de la fonction, mais je n'ai pas réussi.
Merci encore de votre aide.
Erreur dans le calcul de E'(x) : d'où vient le terme e-0,5(x-1)?
Corrige et la suite sera facile.
A +
Bonjour, voilà j'ai corrigé ma dérivée et je trouve E'(x)= -xe-0.5x²+e-0.5
En calculant E'(1) je trouve E'(1)=0.
Et vous dites que si E'(1)=0 alors on ne peut rien en déduire.
Donc j'ai sûrement dû e tromper dans ma dérivée ?
Sinon comme ça s'annule en x=1, peut-on en conclure que delta est de part et d'autre de C1/2au niveau du point I puisque I est sur x=1 ?
Désolé, toujours une erreur dans le calcul de E'(x).
Tu as : E(x) = eu, avec u(x) = -x²/2
La dérivée de eu est : E'(x) = eu.u'(x) (voir ton cours)
u'(x) = -x
Donc E'(x) = -x.e-x²/2
Et tu continues. C'est simple (si tu ne fais pas d'erreur...)
A +
Bonjour thierry45mada, je te remercie pour toute l'aide que tu m'as apporté car je viens de finir mon DM.
J'ai sûrement du t'ennuyer avec toutes mes erreurs mais j'ai refait tout mon DM tête reposée et j'ai pu en effet les corrigées.
Donc merci encore et à bientôt !
A+
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