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Dm terminale S exponentielle
Bonjour, je suis en terminale S et j'ai un DM à faire pour demain (6/01) et je bloque sur plusieurs questions... Si vous pouviez m'aider ça serai top !
Énoncé :
On pose, pour n appartenant à N* : Un = 1 + (1/1!) + (1/2!) + ... + (1/n!) et Vn = Un + (1/n*n!)
1. Vérifier que U1 = 2 et V1 = 3. Calculer et U2 et V2. Pour cette question je n'ai pas eu de problèmes.
2.a Etudier le sens de variation de chaque suite. J'ai trouvé Un croissante mais pour Vn je bloque au moment de la conclusion...
b. Comparer Un et Vn.
En déduire que la suite (Un ) est majorée par V1 et la suite (Vn) est minorée par U1. J'ai réussi la comparaison de Un et Vn . Pour les majorants et minorants je sais qu'il faut prouver que Un<V1 et Vn>Un mais je n'y arrive pas.
c. En déduire que ces suites convergent et montrer qu'elles ont la même limite L. La convergence j'ai réussi mais pas la limite...
3. Pour n fixé dans N* on pose pour 0 </= x </= 1
f(x) = (1 + (x/1!) + (x^2/2!) + ... + (x^n/n!))e^-x et g(x) = f(x) + (x/n!)
a. Calculer f (0)et vérifier que f (1) = Un*e^-1. Ça j'ai réussi
b. Etudier le sens de variation de f sur [0 ; 1] et déduire du a. que : pour tout n >/= 1,
Un </= e. Je n'arrive pas à dériver f et donc à faire la suite de la question.
c. Par le même procédé avec g, prouver que pour tout n >/= 1, e - (e/n!) </= Un. Je n'y arrive pas non plus vu que je n'ai pas f'(x)
d. En déduire la valeur exacte de e et justifier que, pour n appartenant à N* ,
Un </= e </= Vn
e. Quelle est la précision de l'encadrement obtenu pour n = 6 ?
Les deux dernières questions je bloque aussi vu que je n'ai pas les autres...
Comme vous pouvez le voir, je n'ai pas réussi grand chose. C'est pour ça que j'ai vraiment besoin de votre aide !!
Merci d'avance !
Il doit s'agir de Vn = Un + 1/(n*n!) ... ce qui est différent de ce que tu as écrit.
2a)
V(n) = U(n) + 1/(n*n!)
V(n+1) = U(n+1) + 1/((n+1)*(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = U(n+1) - U(n) + 1/((n+1)*(n+1)!) - 1/(n*n!)
V(n+1) - V(n) = 1/(n+1)! + 1/((n+1)*(n+1)!) - (n+1)/(n*(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = 1/(n+1)! + 1/((n+1)*(n+1)!) - ((n+1)²/n)/((n+1)(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = 1/(n+1)! + (1 - (n+1)²/n)/((n+1)*(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (n+1)/((n+1).(n+1)!) + (1 - (n+1)²/n)/((n+1)*(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (n+1+ 1 - (n+1)²/n))/((n+1).(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (n²+2n - (n+1)²)/(n.(n+1).(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = (n²+2n - n²-1-2n)/(n.(n+1).(n+1)!)
V(n+1) - V(n) = -1/(n.(n+1).(n+1)!)
Et donc V(n+1) - V(n) < 0
V(n+1) < V(n)
La suite Vn est décroissante.
Bonsoir
Peux-tu nous poster ce que tu as fait?
Bien sûr :
2.b Vn = Un + 1/(n*n!) <=> Vn - Un = 1/(n*n!)
1/(n*n!) > 0 donc Vn - Un > 0 <=> Vn > Un
Apres je n'arrive pas à prouver les majorants et minorants....
3.b f'(x) = ((1/1!) + (2x/2!) + ... + (nx^(n-1)/n!))*e^-x + (1 + (x/1!) + (x^2/2!) + ... + (x^n/n!))*(-e^-x)
Après pour tout le reste, je n'ai pas réussi à commencer...
**citation totalement inutile supprimée***
Merci beaucoup pour ta réponse. Et merci d'avoir signalé mon erreur, je me suis emmêlé sur la position des parenthèses.
2b)
Vn = Un + 1/(n*n!)
Vn - Un = 1/(n*n!) > 0
Vn - Un > 0
Vn > Un
Comme Un est croissante, on a U(n) >= U1
Comme Vn est décroissante, on a V(n) <= V1
Et comme Vn > Un, on a U1 < V(n) <= V1 et aussi U1 <= U(n) < V1
La suite Vn est minorée par U1 et la suite Un est majorée par V1
-----
2c)
La suite Vn est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
La suite Un est croissante et majorée, elle est donc convergente.
lim(n--> +oo) [Vn] = lim(n--> +oo) [Un + 1/(n*n!)]
lim(n--> +oo) [Vn] = lim(n--> +oo) [Un] + lim(n--> +oo) [1/(n*n!)]
Et comme lim(n--> +oo) [1/(n*n!)] = 0, on a : lim(n--> +oo) [Vn] = lim(n--> +oo) [Un]
Les suites Un et Vn convergent donc vers une même limite L
-----
Sauf distraction.
3)
b)
"Je n'arrive pas à dériver f et donc à faire la suite de la question. "
f(x) = (1 + (x/1!) + (x^2/2!) + ... + (x^n/n!))e^-x
f'(x) = (1 + 2x/2! + ... + n.(x^(n-1)/(n!)).e^-x - (1 + (x/1!) + (x^2/2!) + ... + (x^n/n!))e^-x
f'(x) = (1 + x/1! + ... + (x^(n-1)/(n-1)!)).e^-x - (1 + (x/1!) + (x^2/2!) + ... + (x^n/n!))e^-x
f'(x) = -(x^n/n!).e^-x
Et donc f'(x) < 0 sur [0 ; 1] --> f(x) est décroissante.
...
Sauf distraction.
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