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Dm terminales sur les limites et continuité
Bonjour, voici mon dm :
A est un nombre tel que -1<a<0. La suite (Un) est définie par u0= a et pour tout entier naturel n, un+1=un^2 +un.
1) Étudier le sens de variation de la suite (un).
2) f est la fonction définie sur R par f(x) = x^2 +x .
a) Démontrer que si x appartient à l'intervalle ]-1;0[, alors il en est de même pour f(x).
b) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : -1<un<0.
3) Étudier la convergence de la suite (un) et déterminer sa limite si elle existe.
J'ai fais les questions 1), 2)a) et b) mais je bloque pour la question 3
Voici ce que j'ai fais pour l'instant :
3) La suite (un)est croissante d'après le question 1) et elle est majorée par 0 donc d'après le théorème la suite (un) converge.
(Un) est une suite définie par u0 et par la relation de récurrence un+1=f(un).
f est continue sur ]-1;0[ car elle est dérivable sur ]-1;0[, et (un) a pour limite l car elle converge.
Donc d'après le théorème sur la continuité, la limite l vérifie l'équation l=f(l)
Mon problème est le suivant comment faire pour trouver la limite de (un) à partir de ce théorème, je ne sais pas comment l'utiliser.
Merci d'avance pour votre aide
Bonsoir !
Quand une suite est majorée par 0, même si elle ne prend que des valeurs strictement négatives, la limite peut être 0 (exemple, la suite ).
Tu dois donc étudier la continuité de sur
et essayer de résoudre l'équation :
Pour x appartenant à ]-1;-1/2], f(x) est décroissante et f(-1)=0, f(-1/2)=-1/4
Pour x appartenant à [-1/2;0[, f(x) est croissante et f(0) =0
Mais pourquoi prendre x appartenant à ] 0;1] ?
Gros lapsus : je voulais dire le même intervalle qu'en début de phrase.
.................................................
Le problème n'est pas celui de la fonction mais celui d'une suite vérifiant
.
Relis ce que tu as déjà obtenu : la suite est à valeurs dans et est croissante.
Je t'ai seulement suggéré d'envisager que la limite puisse être ...
D'accord mais je ne comprends toujours pas (un)est croissante donc on pourrait penser que f(un) tend vers + infini, or c'est faux vu qu'elle est convergente
Et pour résoudre f(x) = x je ne vois pas à quoi ça m'avance car f(x) = x^2+ x
Donc du coup x^2 + x = x
X^2 = 0
Comment veux-tu qu'une suite majorée par 0 ait une limite infinie ?
Puisque 0 est la seule racine de toute suite convergente vérifiant
ne peut converger que vers 0.
Mais je ne comprends pas tes questions puisque tu as déjà tous les résultats !
Tout ce qui te manquait c'est dire : si une suite qui prend ses valeurs dans est convergente, sa limite est dans
.
Le seul écueil que tu avais soulevé était :
Mon problème est le suivant comment faire pour trouver la limite de (un) à partir de ce théorème, je ne sais pas comment l'utiliser.
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