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Dm Tle S

Posté par
Miss10
04-11-17 à 10:55

Bonjour,
j'ai un devoir maison et je bloque sur la question a) b) et c). Voici l'énoncé:

On considère l'équation E(x)= x3+3x-2
1) Démontrer que cette équation admet une solution unique Alpha sur R. Donner un encadrement de alpha.

2) Le but de la suite de l'exercice est de calculer la valeur exacte d'alpha grâce à la méthode de Cardan

     a) Soient u et v deux nombres réels.
Démontrer que (u+v)3+3(u+v)-2= u3+v3+3(uv+1)(u+v)-2

En déduire que si (u,v) est solution du système (S):u3+v3=2 et uv=1
alors u+v est solution de (E)

b) Démontrer que pour tous réels u,v non nuls, on a l'équivalence suivante :
u3+v3=2 et uv=1 implique (u3)2-2u3-1=0 et v=-1/u

c) Résoudre l'équation X2-2X-1=0

d) En déduire un couple (u,v) solution de (S), puis la valeur de alpha
On montrera que alpha=racine cubique de racine carré(2)+1 - racine cubique de racine  carré(2)-1

Ce que j,'ai fait:
1) E'(x)= 3x2+3 La fonction est donc croissante sur - l'infini +l'infini et n'admet qu'une solution (théorème des valeurs intermédiaires) compris entre -0,024 et 0,016

2) a)(u+v)3+3(u+v)-2= u3+v3+3u2v+3uv2+3u+3v-2=
u3+v3+3(uv+1)-2

On pose 3(uv+1)=0 car u et v sont 2 inconnues
On obtient donc u3+v3=2
Je n'ai pas réussi à montrer la deuxième égalité

b) Je n'ai pas réussi cette question

c) On trouve pour solution x1=1+sqrt(2) et x2= 1-sqrt2)

d) Je bloque également sur cette question

Je vous remercie par avance.

Posté par
philgr22
re : Dm Tle S 04-11-17 à 11:09

Bonjour,
Ton raisonnement du a) n'est pas bon.
Relis bien l'enoncé de la question.

Posté par
Miss10
re : Dm Tle S 04-11-17 à 11:12

Bonjour,
Je n'ai pas compris pourquoi cela ne fonctionne pas si on pose 3(uv+1)=0 car (u,v) est solutions de l'équation.

Posté par
philgr22
re : Dm Tle S 04-11-17 à 11:15

Attention : quelle est la conclusion? Quelles sont les données?
D'autre part, je suppose que l'equation E est E(x) =0?Tu ne l'as pas ecrit..

Posté par
Miss10
re : Dm Tle S 04-11-17 à 11:29

Oui pardon j'ai oublié de l'écrire E(x)=0

Si on admet u3+v3=2 et uv= -1
Alors on a u3+v3+3(uv+1)-2=0 on remplace par 2 et -1 et on obtient 0 mais je pense que je me suis trompée. J'ai compris mon erreur mais je ne comprends pas bien comment on peut résoudre.

Posté par
philgr22
re : Dm Tle S 04-11-17 à 14:52

Cette expression qui est nulle est égale aussi à quoi d'apres la question precedente?

Posté par
philgr22
re : Dm Tle S 04-11-17 à 15:05

Pourquoi as tu fais disparaitre u+v?

Miss10 @ 04-11-2017 à 11:29

Oui pardon j'ai oublié de l'écrire E(x)=0

Si on admet u3+v3=2 et uv= -1
Alors on a u3+v3+3(uv+1)-2=0 on remplace par 2 et -1 et on obtient 0 mais je pense que je me suis trompée. J'ai compris mon erreur mais je ne comprends pas bien comment on peut résoudre.

Posté par
Miss10
re : Dm Tle S 04-11-17 à 18:43

Bonsoir,
Oui j'ai oublié d'écrire (u+v)
Sinon j'ai compris vu que l'expression est égale à 0 et que E(x)=0 alors nous avons répondu à la question, sinon c'est bon j'ai réussi à démontrer l'équivalence et à résoudre l'équation.

Posté par
Miss10
re : Dm Tle S 04-11-17 à 19:59

J'ai juste un petit soucis à la fin lorsque j'additionne u+v pour trouver Alpha:
Je dois normalement trouver [racine cubique 1+sqrt(2)] + [racine cubique -1+sqrt(2)], or ici au lieu du + entre les racines cubiques j'aurais dû trouver un - (d'après l'énoncé), j'ai pourtant vérifier tout mes calculs. Penseriez-vous que cela provient du fait que j'ai pris u=[racine cubique 1+sqrt(2)] au lieu de [racine cubique 1-sqrt(2)]
Je tiens à vous remercier pour l'aide que vous m'avez fournie jusqu'à lors.

Posté par
philgr22
re : Dm Tle S 04-11-17 à 22:38

Respire un bon coup et regarde bien : tu as le meme resultat!

Posté par
Miss10
re : Dm Tle S 05-11-17 à 10:38

Bonjour,

En effet, j'ai le même résultat mais j'avais quand même une petite erreur v=[racine cubique 1-sqrt(2)] et non [racine cubique -1+sqrt(2)].
Je vous remercie pour votre aide et vous souhaite une bonne journée !



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