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DM Topologie
Bonjour tout le monde,
J'ai un DM de Topologie à rendre pour dimanche. Il y a pleins de nouvelles notions encore jamais abordées, et j'ai vraiment du mal avec ce chapitre. C'est pourquoi j'aurais besoin d'aide pour ce DM, en voici l'énoncé :
On se place dans R2 muni de la norme ||.||. Soit A l'ensemble A= {(x,y) dans R2, xy=1 }.
1) A est-il borné ?
2) Donner la distance du point (0,0) à A.
3). L'ensemble B={ (x,0) : x dans R } est-il fermé ?
Pour la 1), j'ai fait une étude de cas sur x et y, et j'ai dit qu'un des deux termes doit être compris entre -1 et 1, et que l'autre doit être dans ]-∞ ; -1 [ U ] 1 ; +∞ [ .
Pour la 2), je dirais que la distance vaut 1 mais je n'arrive pas à le montrer.
Pour la 3), je commence juste à voir les notions d'ouverts/fermés, on a jamais vraiment fait d'exercice type donc je ne sais pas comment montrer qu'un ensemble est fermé. En faisant mes petites recherches j'en ai déduit qu'il faudrait que je montre que le complémentaire de A est ouvert, mais je ne sais pas ce que ça veut dire concrètement (comment l'appliquer).
Pourriez-vous m'aider s'il vous plait ? 
Bonne journée,
Zoé 
Oui j'ai tracé l'ensemble A, j'obtiens une courbe qui tend vers 0 quand x tend vers -∞ et en +∞, et qui tend vers -∞ en 0- et en +∞en 0+
une fçon de montrer que la partie n'est pas bornée est de trouver une suite d'éléments de cette partie dont la norme tend vers l'infini ...
bon j'en ai beaucoup dit là, à toi de jouer
bonjour,
Avec B(O,r) une boule de centre O et de rayon r, on peut aussi montrer que quel que soit r>0, il existe un élément (x,y) de A qui n'appartient pas à B(O,r), c'est à dire tel que ||(x,y||>r
oui, tout à fait... DOMOREA, ce qui se fait très bien aussi
ça me paraissait plus simple avec une suite qui tend vers l'infini car ça limite les notations...
pour la 2) tu dois trouver facilement un candidat (x1,y1) de R+ x R+ dont tu penses qu'il réalise la distance minimale (carpediem te demande le nom de la courbe qui représente A, cela peut d'aider à voir en particulier les symétries, travaille sur R+ x R+) puis démontre que si (x,y)de R+ x R+ est distinct de (x1,y1) alors
||(x,y)||>||x1,y1)||
(elle a donné le nom de la courbe )
je vais devoir quitter... si elle revient je te laisse poursuivre DOMOREA
Je lis qu " on se place dans 
² muni de la norme ||.|| " mais qu'on ne précise pas cette norme .
Pour s'amuser on pourrait prendre (x , y) 
|x| + |y| pour ||.|| ( où les boules sont alors des carrés) .
Autre remarque : quand on parle de boule , il vaut mieux préciser boule ouverte ou boule fermée .
oui, on a pris la norme "distance" usuelle... cela me semblait implicite vu qu'elle n'était pas précisée.
ensuite ici, pour une majoration d'ensemble, que ce soit une boule ouverte ou fermée, peu importe !
bonjour,
Il y a une méthode peut-être plus directe que celle que je te proposais mais pas plus courte, on suppose que c'est la distance euclidienne qui est implicitement choisie.
Puisque c'est la distance à O(0,0), tu détermines () qui réalise le minimum de la fonction
que tu étudies avec
avec x tu trouves y puis min( f(x) )
salut
le point primitif est de voir que A est l'ensemble des vecteurs v = (x, 1/x) pour tout x non nul
et c'est fini : au moins une des deux coordonnées tend vers l'infini quand v décrit A
si on veut détailler et ce quelle que soit la norme choisie : ||v|| > MAX { ||(x, 0)||, ||(1/x, 0)|| }
Pour continuer à s'amuser...
Avec les normes ||(x,y)||= |x|+|y| , ||(x,y)||=max(|x|,|y|) , ||(x,y)||= la détermination de la distance de O(0,0) à (x,y) conduit à des
chemins différents, on remarque que les 3 boules qui ont un seul point d'intersection avec A+ correspondent à un point réalisant la distance minimale de O à A.
elles donne 3 valeurs distinctes pour ce minimum.
Il s'agirait pour notre amie dreeamiz de montrer que pour (x,y) de A ,||(x,y)|| est supérieur ou égal à 2, 1 , respectivement pour les 3 normes
citées plus avant
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