Bonjour, j'ai un DM à faire pour la rentrée sur les translations, homothéties, etc... J'ai fait cet exercice, et j'aimerais savoir si mes réponses tiennent la route, car j'ai souvent l'impression de m'égarer dans mon raisonnement. Merci d'avance !

Enoncé :

On considère un triangle ABC et le carré BCDE extérieur au triangle.
Les droites (EP) et (DQ), respectivement orthogonales à (AC) et (AB) sont sécantes en K. Le but de l'exercice est de montrer que (AK) est perpendiculaire à (BC).
Soit t la translation de vecteur EB.

1) Déterminer les images de (DQ) et (EP) par t.
2) On désigne par K' l'image de K par t.
Montrer que K'est l'orthocentre du triangle ABC.
3) Montrer que A, K et K' sont alignés et conclure.

Mes réponses :

1) On sait que l'image d'un point A par une translation de vecteur u est le point A' tel que (vec)AA' = (vec)u.
Ici, l'image du point E par la translation t sera donc le point B. (Est-ce assez justifié ? )
De plus, on sait que l'image d'une droite (d) est une droite parallèle à (d). Ici, on trouve que l'image de (EP) sera la droite parallèle à (EP) passant par B.

Avec le même raisonnement, on voit que le vecteur DC correspond au vecteur EB, car ils possèdent le même sens, la même direction et la même norme car BCDE est un carré.
L'image du point D par la translation t sera alors le point C.
De plus, on sait que l'image d'une droite (d) est une droite parallèle à (d). Donc l'image de (DQ) sera la droite parallèle à (DQ) passant par C.

2) On voit que K appartient aux droites (DQ) et (EP) puisqu'il se situe à l'intersection de ces deux droites. Ainsi, l'image de K par la translation t sera elle aussià l'intersection des images des droites car la translation conserve les longueurs et l'alignement.
De plus, on sait que (DQ) est orthogonale à (AB) et que (EP) est orthogonale à (AC). On sait que la translation conserve les angles, donc les images de (DQ) et (EP) par t seront elles aussi orthogonales aux droites (AC) et (AB).

On remarque que les images des droites (DQ) et (EP) passent respectivement par les sommets B et C du triangle ABC. Or si dans un triangle une droite passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé alors c'est une hauteur.
Ainsi, les images des droites (DQ) et (EP) sont des hauteurs du triangle ABC et sont concourantes en un point K'.

Or dans un triangle, le point de concour des hauteurs est l'orthocentre. Donc le point K' est l'orthocentre du triangle ABC.

3) Selon la propriété précédente, les hauteurs d'un triangle sont toujours concourantes en un point qui est l'orthocentre.
Ici le point A est le sommet du triangle ABC, donc la droite passant par A, coupant perpendiculairement le côté [BC] passera forcément par le point de concour des hauteurs K'.
Ainsi les point A et K'.

(EB) est perpendiculaire à (ED) donc la droite passant par un point et son image par t sera toujours perpendiculaire à (ED).
Donc la droite (KK') est perpendiculaire à (ED) et le point K est également aligné à A car (AK') est perpendiculaire à (ED).

On peut dire que (AK') est perpendiculaire à (BC), car (BC) est l'image de (ED) par t.

J'ai parfois l'impression que ma démonstration est trop longue, si vous pouviez me dire si ça convient... Merci !