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dm vecteur barycentre
ABC est un triangle, le point G est son centre de gravité; I,J et K sont les milieux respectifs des segments [BC] [CA], [AB].
M est un point quelquoonque.
Les points P,Q,R sont les symétriques respectifs de M par rapport à I,J,K.
Le pointH est le centre de gravité du triangle PQR.
il s'agit de démontrer:
1) les segments [AP],[BQ] et [CR] ont même milieu L.
2) L est le milieu du segment [GH].
3) les points M, G, H sont alignés.
METHODE 1: avec l'outil vectoriel
1.
prouver que les vecteurs:
PQ=2IJ=BA et CQ=MA=BR (ce sont des vecteurs)
En déduire que les segments [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu L.
2a)
Justifier que les vecteurs GA+GB+GC=vecteur nul et les vecteurs HP+HQ+HR= vecteur nul.
b)
En déduire que (les vecteurs) 3LG=LA+LB+LC et 3LH = LP+LQ+LR .
prouvez alors que L est le milieu de [HG].
3.a)
prouver que G est le centre de gravité du triangle IJK.
b)
prouver que les vecteurs: 3MH= MP+MQ+MR Ppuis que les vecteurs 3MH=6MG
c)
conclure.
1)
Or:
D'ou:
Et:
D'ou:
et car I et J milieux de [BC] et [CA]:
or
D'ou:
Donc:
et
de même:
implique que le quadrilatère AQPB est un parallèlogramme. Donc ses diagonales se coupent en leur milieu, cad [BQ] et [AP] ont même milieu.
De la même façon, grâce à la seconde inégalité on montre que RQCB est un parallèlogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, donc: [CR] et [BQ] ont même milieu.
Ce qui te permet de conclure.
2.a) définition même: le centre de gravité = barycentre attribué des coefficients 1.
Donc G est le barycentre des points (A,1);(B,1) et (C,1). D'ou la relation (déf du barycentre)
De même pour la seconde: H centre de gravité de PQR.
b)utiliser la relation de Chasles dans chacune des égalités précédentes:
Soit:
D'ou:
soit encore:
De même avec la seconde égalité.
Ensuite, calcules , il faut montrer que c'est égal au vecteur nul.
on a:
Or L est le milieu de [AP], [BQ] et [CR] d'après (1), donc
....
L milieu de [GH]
3. On sait que
tu retrouves la première égalité,
il te reste plus qu'à montrer que
pour cela utilises la relation de Chasles en exprimant la somme avec les seuls vecteurs
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