Bonjour,
       L'énoncé  de l'exercice doit être recopier dans  sa totalité, pour avoir de l'aide

Bonjour, une petite démonstration classique qui ne fait pas appel à des notions compliquées (mais l'énoncé parle de vecteurs, ça n'est donc probablement pas la démonstration attendue) :

on complète la figure en traçant les parallèles à GC depuis B et à BG depuis C.
les deux droites se coupent en G'.
BGCG' est un parallélogramme (puisque les cotés opposés sont parallèles deux à deux). les diagonales se coupent en leur milieu et donc A' est le milieu de GG'.

Dans le triangle CG'A , B'G est parallèle à la base CG' et passe par B' milieu de AC. C'est donc la droite des milieux dans ce triangle et donc G est au milieu de AG'. et AG = GG' = GA'/2 montre que G est bien au tiers de AA'.

Voici le sujet complet
ABC est un triangle A' et C' sont les milieux respectifs des segment BC et AB
1 Dans le repère (A,B,C) montrer que A' a pour coordonnées (0,5;0,5)
on exprimera le vecteur AA' en fonction des vecteurs AB et AC
2 Donner les coordonnes des autres points d la figure autre que le point G
3 Donner une equation cartésienne de la droite (AA')
4 Montrer que la droite (CC') a pour equation cartésienne x+0,5y-0,5=0

5 démontrer que les coordonnées di point d'intersection G des médianes (AA') e CC') a pour coordonnées (1/3;1/3)

6 exprimer le vecteur AG en fonction des vecteurs AA' G est le centre de gravité.

Merci

ha oui, ça change tout. il suffit de suivre les questions.
1) ça commence par AB + AC = AA' + A'B + AA' + A'C = 2AA' d'où AA' = ....
2) pas compliqué
3) équation de la droite qui passe par l'origine et par le point (1/2;1:2) ?

Bonjour,
Dans le repère (A,B,C)   c'est à dire
  1)
A-t-elle des difficultés

Note: Je n'arrive pas à faire les flèches des vecteurs donc je ne les aient pas mises, désolé)

1) AA'=AC+CA'
              =AC+1/2CB
              =AC+1/2(CA+AB)
              =AC+1/2CA+1/2AB
              =AC-1/2AC+1/2AB
              =1/2AC+1/2AB

Finalement, le point A' a pour coordonnées A'(0.5;0.5) car AA'=1/2AC+1/2AB

2) Les coordonnées des différents points sont:
A(0;0) A'(0.5;0.5) B(1;0) C(0;1) C'(1/2;0)


3) On sait que: u(-b;a) et que l'équation cartésienne s'écrit sous la forme suivante: ax+by+c=0
On connait le vecteur AA'(0.5;0.5) donc l'expression de l'équation cartésienne est la suivante:  0.5x-0,5y+c=0
On cherche c: Comme le point A(0.5;0.5) appartient à la droite d nous avons:
0.5×0.5-0.5×0.5=0
<=>c=0

Finalement  0.5x-0,5y=0 est l'une des expressions de la droite (AA')

4) Je calcule les coordonnées du vecteur CC': (xC'-XC; yC'-yC) soit CC'(1/2-0;0-1) donc CC'(1/2;-1)

(-b;a) donc -1x-1/2y+c=0

Le point C(0;1) appartient à CC' donc: -1×0-1/2+c=0 <=> -1/2+c=0 <=> c=1/2

Finalement l'équation cartésienne est la suivante -x-0.5y+0.5=0 <=>  x+0.5y-0.5=0

5) Nous savons que G appartient à (AA') et (CC') donc: (Je précise, ici, que chaque couple d'équations est précédé d'un accolade donc les x et y sont identique, encore désolé je ne sais pas comment mettre sur format numérique ce genre de signe)

0.5x-0,5y=0
x+0.5y-0.5=0

0.5x=0.5y
x+0.5y-0.5=0

x=1y
x+0.5y-0.5=0

x=1y
1y+0.5y-0.5=0

x=1y
1.5y-0.5=0

x=1y
y=0.5/1.5

x=1y
y=1/3

x=1/3
y=1/3

Donc G(1/3;1/3)


6) Je suis bloquée

Bonsoir, ma fille vient de vous envoyer ses réponses merci de l'aider pour la question n° 6 et vérifier si ses premières réponses sont correctes; Le DM est pour demain Merci

Bonjour,

6) Sachant que l'origine du repère est A, comment peut s'écrire une équation d'une droite passant par A ?
Connaissez-vous un autre point de la droite en question ? Si oui c'est immédiat.

c'est la droite AA' et G est sur cette droite c'est le centre de gravité du triangle ABC

Je sais bien mais c'est à vous de conclure...

J'ai bien compris que AG=2/3 de AA' mais ne sait pas comment le démontrer

le point G  est à l'intersection de deux droites lesquelles?

  je n'avais pas tout lu...
G(1/3)(1/3)
6)
exprime les coordonnées du vecteur AA' et celles du vecteur AG

Voici ce que j'ai trouvé merci de me dire si c'est correct
AG=AB+BA'
= AC+CA'+BA'
=AA'+BA'
=AA'+1/2 BC
= AA'+ 1/2 (BA+AC) voilà après????

moi je ne comprends pas à la ligne 2 comment votre AB devient AC + CA'
d'ailleurs AG=AB+BA' c'est faux aussi AG n'est pas égal à AA'

il faut trouver les coordonnées de G et donc du vecteur AG
et les comparer à celles de AA'

  les coordonnées de G(1/3)(1/3)   tu sembles ne pas connaître
a pour coordonnées
(

J'ai appliquer votre formule et j'en conclut que: AG(1/3;1/3) et AA'((0.5;0.5). Cependant la question est la suivante: Exprimer le vecteur AG en fonction DES vecteurs AA'. Je connais bien évidemment le résultat: AG=2/3AA' mais je ne sais pas du tout comment le démontrer, mais je pense que les coordonnées du point G nous servirons grandement mais je ne sais pas comment utiliser ces données.

on en déduit que

Merci de votre aide, j'ai compris maintenant désolée de vous avoir ennuyée

Tu ne m'as pas ennuyé ,   je participe au site car je le veux bien
.

Re bonjour,  pouvez vous me dire si mes réponses 4 et 5 sont bonnes. J en ai parlé à  une de mes camarades et elle m à dit que la 4 était fausse. Merci

C(0;1) et C'(1/2;0) satisfont bien l'équation x + y/2 = 1/2 c'est donc bien ça l'équation de CC'

Après pour résoudre y = x et x + y/2 = 1/2 on peut aller un peu plus vite
3y/2 = 1/2 y = 1/3 x=1/3