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Niveau maths spé
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domaine de définition

Posté par
lebesgue
19-02-19 à 11:01

Bonjour,

Je me pose une question un peu "existentielle" sur la notion de domaine de définition d'une fonction dans le cas particulier d'une fonction défini par une somme : \zeta (s)=\sum_{n\geq 1} {\frac{1}{n^s}}
habituellement, on défini le "domaine de définition" comme l'ensemble des x qui ont une image par f dans l'ensemble d'arrivée.  Dans la plupart des exercices, le domaine de définition de la fonction dzeta, c'est l'ensemble des s pour lesquels la fonction donne une valeur finie donc pour lesquels la somme converge.
Or, pour les s pour lesquels la somme diverge,  l'image de  s existe bien mais elle n'est pas finie....
Formellement, pourquoi exclu t'on ces points là du Df?

Posté par
Glapion Moderateur
re : domaine de définition 19-02-19 à 11:23

Parce que l'ensemble de définition d'une fonction c'est justement l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer la fonction, donc l'ensemble des valeurs qui donnent un résultat fini.

Posté par
lebesgue
re : domaine de définition 19-02-19 à 11:34

Merci pour ta réponse Glapion, je suis conscient que ma question est un peu philosophique, mais ça me travaille depuis un moment....
Donc je comprends que tu interprète le terme "image qui existe" de la définition d'un Df par "image calculable", ce qui donne effectivement un élément de réponse...

Par extension, dirais tu que la fonction y=x² n'est pas défini en + l'infini?
Mais d'ailleurs cela a t'il un sens de parler de domaine de définition pour des x infinis?

Posté par
Glapion Moderateur
re : domaine de définition 19-02-19 à 11:38

effectivement la fonction f(x) = x² n'est pas défini en + l'infini (elle a une limite quand x tend vers l'infini, c'est tout ce qu'on peut dire).

+ ou - l'infini ne sont pas des nombres et ne peuvent jamais figurer dans un domaine de définition.

Posté par
Jezebeth
re : domaine de définition 19-02-19 à 11:47

Bonjour

Typiquement on travaille avec des fonctions de R vers R... pas vers R barre ! A moins d'être tordu. (Rassurez-vous, certains sujets de concours le sont...)

Posté par
etniopal
re : domaine de définition 19-02-19 à 15:23

Si pour tout s   réel  on désigne par us  la suite   n    n-s de * vers +   us désigne un élément de [+} ( même pour un grand nombre de non-tordus )
Les s pour lesquels   f(s) := us  < + forment un ensemble  U qu'on peut appeler ensemble de départ d'une application f  arrivant dans + .

On peut prolonger f à l'ensemble V formé des complexes z pour lesquels la suite  n   1<k<n us(k) converge (  donc vers un complexe )  .
V contient d'ailleurs  { z │ Re(z) U }



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