Bonjour
Paul achete une boîte contenant 20 dosettes de café, chaque matin il peut prendre une dosette de café avec une probabilité p ou ne pas en prendre une avec une probabilité 1-p.
Combien de jour en moyenne faut il compter pour que Paul reparte acheter une nouvelle boîte de dosettes ?
Bonjour,
J'ai fait des simulations pour "conforter" la formule donnée par jandri.
Bonne adéquation pour 20 dosettes et p > 0.2
mais vraiment pas pour 10, 15 ou 20 dosettes et p=0.1.
existe-t-il une "démonstration" du résultat proposé ?
Bonjour vahm,
j'ai testé et je trouve des résultats qui concordent parfaitement avec "ma" formule pour :
s:=0: for i from 1 to 1000 do s:=s + f(20,0.1) od : s/1000;
199.53
s:=0: for i from 1 to 1000 do s:=s+f(10,0.1) od : s/1000;
99.943
s:=0: for i from 1 to 10000 do s:=s+f(5,0.1) od: s/10000;
50.0999
compte le nombre de jours pour épuiser dosettes pour une probabilité .
J'ai deux démonstrations pour obtenir le résultat, une avec calculs et une autre sans calculs !
salut
si X est la va égale au nombre de jours nécessaires pour épuiser les dosettes alors cela signifie qu'on prend la dernière dosette le jour X et on a pris les 19 autres parmi les X - 1 premiers jours donc :
donc
mais comment calcule-t-on cette somme ? (du moins si je m'ai pas trompé !! )
et je suis aussi curieux de connaitre le résultat sans calcul ...
Bonsoir,
-> Jandri : OK, j'avais une limite restée fixe dans ma simulation
(quand on est passé dessus plusieurs fois, on ne le voit plus ).
pour votre 199.53 j'ai 198.97
pour votre 99.43 J'ai 100.01
pour votre 50.0999 j'ai 49.7 ce qui valide tout à fait votre formule
Mais la démonstration m'intéresse toujours
Bonjour carpediem,
ta formule pour la loi de est exacte mais il y a une coquille dans ta formule qui donne .
Il y a une grosse astuce pour obtenir l'expression simplifiée de .
Pour cela on écrit la formule donnant pour un nombre de dosettes et on utilise la formule bien connue . Ensuite :
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