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Dosettes de café

Posté par
flight
02-10-20 à 16:13

Bonjour
Paul achete une boîte contenant 20 dosettes de café, chaque matin il peut prendre une dosette de café avec  une probabilité p ou ne pas en prendre une avec une probabilité 1-p.
Combien de jour en moyenne faut il compter pour que Paul reparte acheter une nouvelle boîte de dosettes ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Dosettes de café 03-10-20 à 10:08

Bonjour,
l'espérance de X jour où il tire la 20-ième dosette est égale à

 Cliquez pour afficher
.

Posté par
vham
re : Dosettes de café 04-10-20 à 18:18

Bonjour,

J'ai fait des simulations pour "conforter" la formule donnée par jandri.
Bonne adéquation pour 20 dosettes et p > 0.2
mais vraiment pas pour 10, 15 ou 20 dosettes et p=0.1.

existe-t-il une "démonstration" du résultat proposé ?

Posté par
jandri Correcteur
re : Dosettes de café 04-10-20 à 19:20

Bonjour vahm,

j'ai testé et je trouve des résultats qui concordent parfaitement avec "ma" formule pour p=0.1 :

s:=0: for i from 1 to 1000 do s:=s + f(20,0.1) od : s/1000;
199.53

s:=0: for i from 1 to 1000 do s:=s+f(10,0.1) od : s/1000;
99.943

s:=0: for i from 1 to 10000 do s:=s+f(5,0.1) od: s/10000;
50.0999

f(n,p) compte le nombre de jours pour épuiser n dosettes pour une probabilité p.

J'ai deux démonstrations pour obtenir le résultat, une avec calculs et une autre sans calculs !

Posté par
carpediem
re : Dosettes de café 04-10-20 à 20:38

salut

si X est la va égale au nombre de jours nécessaires pour épuiser les dosettes alors cela signifie qu'on prend la dernière dosette le jour X et on a pris les 19 autres parmi les X - 1 premiers jours donc :

P(X = 20) = p^{20}
 \\ 
 \\ P(X = 21) = {20 \choose 19} p^{20}(1 - p)
 \\ 
 \\ P(X = 22) = {21 \choose 19} p^{20} (1 - p)^2
 \\ ...
 \\ P(X = n) = {n - 1\choose 19} p^{20} (1 - p)^{n - 20}

donc E(X) = \sum_{n =20}^{+\infty} {n - 1 \choose 19} p^{20} (1 - p)^{n - 20}

mais comment calcule-t-on cette somme ? (du moins si je m'ai pas trompé !! )

et je suis aussi curieux de connaitre le résultat sans calcul ...

Posté par
vham
re : Dosettes de café 04-10-20 à 21:09

Bonsoir,

-> Jandri : OK, j'avais une limite restée fixe dans ma simulation
(quand on est passé dessus plusieurs fois, on ne le voit plus ).
pour votre 199.53 j'ai 198.97
pour votre 99.43 J'ai 100.01
pour votre 50.0999 j'ai 49.7 ce qui valide tout à fait votre formule

Mais la démonstration m'intéresse toujours

Posté par
jandri Correcteur
re : Dosettes de café 04-10-20 à 21:15

Bonjour carpediem,

ta formule pour la loi de X est exacte mais il y a une coquille dans ta formule qui donne E(X).

Il y a une grosse astuce pour obtenir l'expression simplifiée de E(X).
Pour cela on écrit la formule donnant E(X) pour un nombre N de dosettes et on utilise la formule bien connue N{\binom n N}= n {\binom{n-1}{N-1}} . Ensuite :

 Cliquez pour afficher

Posté par
flight
re : Dosettes de café 05-10-20 à 08:57

Bravo à tout les participants et à jandri pour son resultat !

Posté par
carpediem
re : Dosettes de café 06-10-20 à 21:00

merci jandri ...

ha oui j'ai oublié le n !!

ensuite effectivement j'avais pensé à un truc de changement d'indice vu les propriétés des coefficients binomiaux ...

mais trop de boulot pour l'instant ...

en tout cas merci

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