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Dossier Arithmétique oral 2 Capes

Posté par
robby3 28-04-09 à 11:08

Bonjour tout le monde,
dans le cadre du dossier arithmétique de l'oral 2 il m'est demandé

Citation :
Un ou plusieurs exercices sur le thème "Arithmétique" mettant en jeu des propriétés de certains nombres entiers.


voilà ce que je propose, je voudrais ensuite votre avis quant à la pertinence de mes exos par rapport au sujet.

Exercice 1: (une réciproque partielle D'Euler vis à vis des nombres parfaits)

Citation :
On considère un entier naturel pair a.
1)Justifier que a peut s'écrire sous la forme 2^n.b ou b est un entier impair et n un entier naturel non nul.
2)On note s(a)(resp s(b)) la somme de tous les diviseurs positifs de a (resp b)
  a)On note do=1,d1,d2,...,dp=b la liste des diviseurs de b.Démontrer que s(a)=(2^{n+1-1)s(b)
  b)Démontrer que a est un nombre parfait ssi b=(s(b)-b)(2^{n+1}-1)
  c)En déduire que si a est parfait alors s(b)-b est un diviseur de b, puis que b est premier
  d)Conclure



Citation :
Exercice 2:Les nombres de Mersenne

1)Montrer que \forall p\in \mathbb{N},\forall q\in \mathbb{N}, 2^{pq}-1 est divisible par 2^p-1 et 2^q-1
2)En déduire que \rm (2^n-1 premier)\longrightarrow (n premier)
3)la réciproque est-elle vraie?donner un exemple.



Citation :
Exercice 3:Les nombres de Fermat
Soit n\in \mathbb{N}.On appelle nombre de Fermat,tout nombre de la forme F_n=2^2^n+1
1) a)Calculer F_i pour i\in\{0,...,5\} et montrer qu'ils sont premiers
b)Démontrer par recurrence que pour tout n\ge 2,2^2^n\equiv 6[10]
c)En déduire que pour tout n\ge 2,le chiffre des unités de F_n en base 10 est 7

2)a)Soit x\in \mathbb{N*} et m\in \mathbb{N*}
Démontrer que \frac{x^{2m}-1}{x+1} est un entier
b)En déduire que pour tout k\in \mathbb{N*}, \frac{F_{n+k}-2}{F_n} est un entier
c)En déduire que pgcd(F_{n+k},F_n) divise 2
3)Démontrer que F_n et F_{n+k} sont premiers entre eux.


Merci d'avance de votre avis.

Posté par
mouss33re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 28-04-09 à 11:38

Ils sont supers tes exos!

On te demande des exos mettant en jeu des propriétés de certains nombres entiers.

Ton exo 1 il te donne une autre caractérisation des nombres parfaits (son dossier traitait des nombres parfaits)

Ton exo 3: les nombres de Fermat avec  ta dernière question qui montre une caractérisation des nombres de Fermat entre eux!

L'exo 2 est un classique mais il ne mange pas de pain!!

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 28-04-09 à 11:58

merci pour ton avis mouss!( mais bon,t'es pas trop objectif )
(ça c'est passé comment hier?)

Posté par
mouss33re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 28-04-09 à 12:07

cdr! d'où je ne suis pas trop objectif?!

je t'envoie un MP pour te racontait hier...

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 28-04-09 à 15:22

Citation :
d'où je ne suis pas trop objectif?!

bah t'a le meme recul que moi sur ces exos...je veux dire, t'es pas un type de la old school tu vois...

Posté par
carrocelre : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 11:58

Hello

Je les trouve plutot bien tes exos, j'aurais aussi mis un ex qui traite de l'etude d'un critere de divsibilité (par 11 par ex)...apres voila...je ne suis pas membre de jury de capes...

A plus et courage !

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 13:30

Merci,j'ai présenté ça la semaine derniere,ça c'est plutot bien passé, donc c'était nikel
Merci de ta réponse!

je raconte un peu ma vie,mais hier,j'ai donné un cours pour la 1er fois à une classe entiere de 3eme...et j'ai trouvé ça franchement génial, c'était vachement bien,ça participait,ça lever le doigt, j'étais parfois meme étonné,ça posait des questions,c'était vivant!
c'était cool!

voilà voilà!

Posté par
Camélia Correcteurre : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 14:32

Bienvenue au club robby! Oui, enseigner peut être génial!

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 17:17

oui c'est sur, il me reste plus qu'à avoir ce "sacré" concours pour pouvoir apprécier le job!!

Posté par
carrocelre : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 17:53

oui qd on a envie d'enseigner ca fait toujours ca la premiere fois...

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 18:42

non et puis le fait qu'un élève sorte du cours et dise carrément,"c'est bon,j'ai tout compris"...ça fait plaisir quand même, on se dit que peut-être on est pas si nul...
mais bon...le plus dure est de décrocher le sésame...

Posté par
slorevivre : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 19:44

Bonjour!
eh oui meme apres plein d'années, il y a des cours qui font plaisir à faire ...qui font oublier les seances moins bien...
Bon courage aux jeunots ,
et oui robby3 tes exos sont bien!!
Marie

Posté par
robby3re : Dossier Arithmétique oral 2 Capes 05-05-09 à 20:41

Merci Sloreviv!


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