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Double inégalité

Posté par
Dreamyy
29-08-18 à 13:06

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire mon exercice portant sur le logarithme.

Voici l'énoncé :

1°) Justifier que la double inégalité suivante pour tout réel t de [0;+\infty[ :

\huge 1 - t \leq \frac{1}{1+t} \leq 1-t-t²

2°) En déduire que pour tout réel x de [0;+\infty] :

\huge x-\frac{x²}{2} \leq ln(1+x) \leq x- \frac{x²}{2} + \frac{x^{3}}3{}


Je ne vois pas par où commencer :

Je pensais à faire ça :

t \geq 0

t+1 \geq 1

Mais ça ne mène à rien.

Enfin pour la 2°) j'ai déjà vu ça avec mon prof de spé en AP  :
On dérivait à chaque fois et on avait trouvé à la fin une formule pour approximer je crois cos(x). C'était de mémoire je pense :

cos(x) = \sum_{k=0}^{+\infty }{(-1)^{k}\frac{x^{k}}{k!}}
Mais je ne suis plus très sûr ^^'

\frac{1}{t+1} \leq 1

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:06

Ups la dernière ligne se trouve après les 2 inégalités

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:07

Je crois qu'il y avait du 2n et du 2n+1 pour le sinus mais j'ai oublié

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:10

salut

quand on veut montrer que f(t) < g(t) sur un certain domaine D on étudie le signe de g(t) - f(t) sur ce domaine ...

de plus f(t) < g(t) < h(t)  <=>  f(t) < g(t)  et  g(t) < h(t) ...

le 2/ se déduit des propriétés sur l'intégrale (il suffit de réviser son cours)

...

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:12

salut

quand on veut montrer que f(t) < g(t) sur un certain domaine D on étudie le signe de g(t) - f(t) sur ce domaine ...

de plus f(t) < g(t) < h(t)  <=>  f(t) < g(t)  et  g(t) < h(t) ...

le 2/ se déduit des propriétés sur l'intégrale (il suffit de réviser son cours) en espérant que tu as vu le lien entre les deux inégalités ...

...

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:16

D'accord donc je dois étudier le signe de :


\huge\frac{1}{1+t} - (1-t)

Puis de :

\huge1-t-t² - (\frac{1}{1+t} )

Pour montrer que \huge \frac{1}{1+t} est compris entre ces 2 'fonctions' ?

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:22

oui ...

PS : ce n'est pas un devoir mais une possibilité !!!
il peut y avoir d'autres méthodes ... mais celle que je te propose est un classique ...

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:23

\large \frac{1}{1+t} - (1-t) = \frac{t²}{1+t} \geq 0 car  \large 0     \large [0;+\infty [

donc :

\large 1-t \leq \frac{1}{1+t}

De même, on trouve :

\large 1-t+t² - (\frac{1}{1+t} ) = \frac{t^{3}}{1+t} \geq 0,

on a donc bien :

\large 1-t \leq \frac{1}{1+t} \leq 1-t+t²

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:24

Oui oui j'en suis conscient ^^,

serait-il possible de me présenter rapidement les autres possibilités à la fin si vous avez le temps

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:26

de plus il me semble qu'il y a une erreur dans la première inégalité : le troisième membre est 1 - t + t^2

...

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:29

dans le cas présent il n'y a guère d'autre moyen !!!

mais se rappeler que a < b <=> b - a > 0 (cours de collège) ...

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:30

Pour la 2), je vois bien qu'on a fait la primitive de chaque quantité.
Voici ma rédaction :


On a, d'après la question 1°) :

\large 1-x \leq \frac{1}{1+x} \leq 1-x+x²

Une primitive de    1-x    est    x-\frac{x²}{2}.

Un primitive de    \frac{1}{1+x}     est    ln(1+x).

Une primitive de 1-x+x²     est      x-\frac{x²}{2} + \frac{x^{3}}{3}

Donc :

x-\frac{x²}{2} \leq  ln(1+x)  \leq    x-\frac{x²}{2} + \frac{x^{3}}{3}

Est-ce correct ?
  

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:30

carpediem @ 29-08-2018 à 13:26

de plus il me semble qu'il y a une erreur dans la première inégalité : le troisième membre est 1 - t + t^2

...
  Oui c'est + ^^', faute de frappe

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:31

Mais juste carpediem, est-ce normal que cela me rappelle ce que je disais plus haut avec cos(x) et sin(x) ? N'y a-t-il pas un lien ? Je suis curieux ^^'

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:38

13h30 : non c'est très imprécis !!

se rappeler que : sur un domaine D : f(t) \le g(t) => \int_a^b f(t)dt \le \int_a^b g(t)dt e choisissant judicieusement les valeurs de a et b pour ton exo ...

oui il y a un exo équivalent avec cos et sin ... ou exp ou ...

pour info on utilise ce qu'on appelle les développements limités de ces fonctions ...

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:44

D'accord je vois, merci beaucoup. En prenant b= 1 et a=0 cela devrait être juste

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:45

upss x) c'est faux, il faut qu'il y a du x. Je n'ai rien dit ! ^^

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:57


On a, d'après la question 1°) :

\large 1-t \leq \frac{1}{1+t} \leq 1-t+t²

\int_{0}^{x}{1-t} \; dt \leq \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t}\; dt\leq \int_{0}^{x}{1-t+t²}

[t-\frac{t²}{2}]_{0}^{x} \leq [ln(1+t)] _{0}^{x}\leq [{t- \frac{t²}{2}+\frac{t^{3}}{3}}]_{0} ^{x}

x- \frac{x²}{2} \leq  ln(1+x)  \leq  x- \frac{x²}{2}+\frac{x^{3}}{3}}

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:57

oui a = 0  ... et b ?

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 13:59

oui c'est cela ... en n'oubliant pas les parenthèses !!

\int_0^x (1 - t)dt et idem pour le troisième membre avec le dt ...

Posté par
Dreamyy
re : Double inégalité 29-08-18 à 14:00

Oui je me suis embrouillé avec le LaTex vu que je voulais réutiliser ce que j'avais écris, enfin bref

Merci beaucoup !

Posté par
carpediem
re : Double inégalité 29-08-18 à 17:23

de rien

Posté par
malou Webmaster
re : Double inégalité 30-08-18 à 11:34

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