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Niveau maths sup
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Double somme

Posté par
Ramanujan
10-07-18 à 22:44

Bonsoir,

D'après le cours, quand on a : 0 \leq i \leq j \leq n
\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij} = \sum_{j=0}^{n} \sum_{i=0}^{j} a_{ij}

J'ai envie de l'adapter à cet exercice mais j'y arrive pas car je fais l'encadrement et il ressemble pas à celui du cours exactement :

J'ai : \sum_{j=0}^{m} \sum_{k=j}^{n+j} =\sum_{k=0}^{...} \sum_{j=0}^{...}  

Je pars de :  0 \leq j \leq k \leq n+j \leq n+m

Mon j ne va pas de 0 à m dans mon inégalité donc ça correspond pas à la formule du cours.

Posté par
lafol Moderateur
re : Double somme 10-07-18 à 22:48

Bonjour
fais un tableau à double entrée : les j en lignes, les k en colonnes, par exemple
coche les cases pour les couples (j,k) qui figurent dans ta somme
ensuite tu verras de où à où arie k, et de où à où en fonction de k varie j

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 10-07-18 à 23:55

Je suis en train de construire mon tableau mais j'y arrive pas.

Je dois faire varier j de 0 à m.

Mais le k je le fais varier de 0 à n mais ensuite le m je le mets où ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Double somme 11-07-18 à 00:29

si tu n'es pas capable de reconnaitre des variables muettes et des paramètres....
m et n sont des données....

première somme : j varie de 0 à m donc tu numérotes tes lignes 0, 1, 2 , etc, m

ensuite deuxième somme : pour chaque j , k varie de j à n+j
donc dans chaque ligne, tu coches les cases j, j+1, etc, j+n

ensuite tu relis ça dans l'autre sens :
les k varient globalement de 0 à n+m
puis pour chaque k, il y a des croix dans certaines cases
à voir si ça peut se décrire d'un coup, ou s'il faut séparer en plusieurs paquets (mais tu n'apprendras jamais rien si tu te contentes de lire ce qu'on t'explique ! il faut que tu agisses !)

Posté par
flight
re : Double somme 11-07-18 à 00:46

a verifier

pour les sommes  :  k de 0 à n+j et j irai de 0 à k

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 00:49

Bah j'essaie ça fait 1 heure que je suis dessus.

J'arrive pas à faire dans mon tableau le k variant de j à n+j.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 00:50

flight @ 11-07-2018 à 00:46

a verifier

pour les sommes  :  k de 0 à n+j et j irai de 0 à k


J'hésite entre 0 à n+j et 0 à n+m ....

Posté par
flight
re : Double somme 11-07-18 à 01:00

ma réponse n'est pas exacte au final ...

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 01:25

J'avais compris dans le cours mais cet exercice me pose problème.
C'est le n+j qui me gêne.

Posté par
etniopal
re : Double somme 11-07-18 à 08:11

Plutôt qu'un tableau " matriciel " ( ligne ,  colonne ) tu dessines 2 axes comme pour dessiner le graphe d'une fonction réelle d'une variable réelle .
L'axe de abscisses sera celui des i et l'axe des ordonnées celui des j
Tu hachures alors l'ensemble des points (x,y) de ² tels que 0 x y n .
C'est un "triangle " dont les côtés sont portés pas les3  droites d'équations  x = 0 , y = 0 et y = x .
Les (i,j) ²  sont les ponts à coordonnées entières situés dans le sus dit triangle .

Posté par
lafol Moderateur
re : Double somme 11-07-18 à 08:13

Tu ne sais pas cocher des cases de 0 à n, puis de 1 à n+1, puis de 2 à n+2 etc ? Fais autre chose que des maths.... Je suis sûre qu'ils ont aussi besoin de contractuels en français, dans ton académie !

Posté par
lafol Moderateur
re : Double somme 11-07-18 à 08:14

etniopalsi tu lui changes les notations tu vas l'achever.... Déjà qu'il est noyé....

Posté par
luzak
re : Double somme 11-07-18 à 10:24

Citation :

Je pars de :  0 \leq j \leq k \leq n+j \leq n+m
Mon j ne va pas de 0 à m dans mon inégalité  donc ça correspond pas à la formule du cours.

Ben non, puisque j\leqslant k...
en écrivant comme ça, est-ce plus clair ?

\sum_{j=0}^{m} \Bigl(\sum_{k=j}^{n+j}A_{jk}\Bigr) =\sum_{0\leqslant j\leqslant m} \Bigl(\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}\Bigr)=\sum_{0\leqslant k\leqslant m+n}\Bigl( \sum_{0\leqslant j\leqslant k}A_{jk}\Bigr)  

Posté par
flight
re : Double somme 11-07-18 à 11:43

salut

pour demontrer la somme de depart ( celle du cours)  comme l'a suggéré Lafol , on peut dresser un tableau qui ressemble à un tableau matriciel comme suit  ;

aoo     a01      a02 ..........   aon

a11     a12      a13...........   a1n

a22     a23      a24 ............. a2n

...........

an-1,n-1   an-1,n

an,n

ensuite on fait les sommes de chaque ligne  , puis la somme (des sommes de toutes les lignes)   ou alors on fait la somme de chaque colonne , puis la somme ( des sommes de toutes les colonnes)  ce qui  explique pourquoi on a l'egalité dans la somme donnée en cours

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 13:08

lafol @ 11-07-2018 à 08:13

Tu ne sais pas cocher des cases de 0 à n, puis de 1 à n+1, puis de 2 à n+2 etc ? Fais autre chose que des maths.... Je suis sûre qu'ils ont aussi besoin de contractuels en français, dans ton académie !


Je vois pas le rapport, les contractuels ne sont pas envoyés en prépa. C'est un exercice de niveau maths sup.
Et les maths de terminale S, y a pas des choses aussi difficiles.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 13:10

luzak @ 11-07-2018 à 10:24

Citation :

Je pars de :  0 \leq j \leq k \leq n+j \leq n+m
Mon j ne va pas de 0 à m dans mon inégalité  donc ça correspond pas à la formule du cours.

Ben non, puisque j\leqslant k...
en écrivant comme ça, est-ce plus clair ?

\sum_{j=0}^{m} \Bigl(\sum_{k=j}^{n+j}A_{jk}\Bigr) =\sum_{0\leqslant j\leqslant m} \Bigl(\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}\Bigr)=\sum_{0\leqslant k\leqslant m+n}\Bigl( \sum_{0\leqslant j\leqslant k}A_{jk}\Bigr)  


Bah là c'est le résultat, je cherche comment le démontrer.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 13:12

flight @ 11-07-2018 à 11:43

salut

pour demontrer la somme de depart ( celle du cours)  comme l'a suggéré Lafol , on peut dresser un tableau qui ressemble à un tableau matriciel comme suit  ;

aoo     a01      a02 ..........   aon

a11     a12      a13...........   a1n

a22     a23      a24 ............. a2n

...........

an-1,n-1   an-1,n

an,n

ensuite on fait les sommes de chaque ligne  , puis la somme (des sommes de toutes les lignes)   ou alors on fait la somme de chaque colonne , puis la somme ( des sommes de toutes les colonnes)  ce qui  explique pourquoi on a l'egalité dans la somme donnée en cours


J'ai compris la démonstration de la formule du cours.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 13:16

etniopal @ 11-07-2018 à 08:11

Plutôt qu'un tableau " matriciel " ( ligne ,  colonne ) tu dessines 2 axes comme pour dessiner le graphe d'une fonction réelle d'une variable réelle .
L'axe de abscisses sera celui des i et l'axe des ordonnées celui des j
Tu hachures alors l'ensemble des points (x,y) de ² tels que 0 x y n .
C'est un "triangle " dont les côtés sont portés pas les3  droites d'équations  x = 0 , y = 0 et y = x .
Les (i,j) ²  sont les ponts à coordonnées entières situés dans le sus dit triangle .


J'arrive pas à l'appliquer dans mon cas.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 13:57

Pour l'exemple du cours, j'ai réussi à bien comprendre avec la notation matricielle.

Posté par
luzak
re : Double somme 11-07-18 à 14:53

Citation :
Bah là c'est le résultat, je cherche comment le démontrer.

et comme ça :
Pour la formule de gauche,  \sum_{0\leqslant j\leqslant m} \Bigl(\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}\Bigr)

on calcule les sommes, pour j fixé, S_j=\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}

puis on fait la somme de ces sommes : B=\sum_{0\leqslant j\leqslant m} S_j.

Pour la formule de droite, on inverse en faisant d'abord les sommes pour k fixé : T_k=\sum_{j???}A_{jk} et on réfléchit (un peu). Quels sont les termes à sommer puisque k  est fixé ? Pas difficile de voir que 0\leqslant j\leqslant k.
Enfin on fait la somme des T_k en cherchant les valeurs extrêmes de k : pas difficile de voir que ces limites sont 0,\,n+m donc B=\sum_{0\leqslant k\leqslant m+n}T_k.

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 16:08

"Pour la formule de gauche,  \sum_{0\leqslant j\leqslant m} \Bigl(\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}\Bigr)

on calcule les sommes, pour j fixé, S_j=\sum_{j\leqslant k\leqslant n+j}A_{jk}

puis on fait la somme de ces sommes : B=\sum_{0\leqslant j\leqslant m} S_j. "


J'ai compris jusqu'ici, le reste vous allez trop vite j'ai pas saisi.

J'arrive à :

B=S_0+S_1+...+S_m

Donc : B=\sum_{k=0}^{n}A_{0k}+ \sum_{k=1}^{n+1}A_{1k}+...+\sum_{k=m}^{n+m}A_{mk}

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 16:18

Je vois pas comment trouver les Tk (k fixé)à partir de là :

B=\sum_{k=0}^{n}A_{0k}+ \sum_{k=1}^{n+1}A_{1k}+...+\sum_{k=m}^{n+m}A_{mk}

Posté par
luzak
re : Double somme 11-07-18 à 16:57

Cela crève les yeux :
T_k=A_{0k}+A_{1k}+\dots+A_{mk}.
Si cela te gêne, prends une autre lettre que k : on fixe le deuxième indice à p et tu lis tous les termes où le deuxième indice est p :
T_p=A_{0p}+A_{1p}+\dots+A_{mp}=\sum_{0\leqslant j\leqslant p}A_{jp}

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 11-07-18 à 17:33

Ah j'ai compris

T_k = \sum_{j=0}^{m} A_{jk} = A_{0k}+...A_{mk}

Mais notre somme B vaut B=(A_{00}+...+A_{0n})+ ...+(A_{mm}+...+A_{mm+n}

Donc pour retoruver B il faut sommer k de 0 à n+m !

Par contre, j'aimerais essayer avec le représentation matricielle, celle où je suis le plus à l'aise mais j'arrive pas à trouver la matrice Ajk de ce système.

Posté par
luzak
re : Double somme 11-07-18 à 22:54

Citation :

Donc pour retoruver B il faut sommer k de 0 à n+m !

Eet que lis-tu dans mon post de 14:53 ?
Citation :

Enfin on fait la somme des T_k en cherchant les valeurs extrêmes de k : pas difficile de voir que ces limites sont 0,\,n+m donc B=\sum_{0\leqslant k\leqslant m+n}T_k.

.............................................................
Quant à ça, j'aimerais bien savoir de quoi tu parles !
Citation :

Par contre, j'aimerais essayer avec le représentation matricielle, celle où je suis le plus à l'aise mais j'arrive pas à trouver la matrice Ajk de ce système.

Et qui aurait pu penser que mes A_{jk} qui n'étaient qu'une notation pour quelque chose dépendant des indices j,k (juste  pour ne  pas laisser un vide dans les signes de sommation) deviendraient, pour un esprit tortueux, des matrices ?

Franchement je crois avoir fait mon possible pour aider mais là je déclare "forfait".

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 12-07-18 à 22:15

@Luzak

Je me suis mal exprimé. En fait quand on calcule la somme double \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{ij} on peut représenter les termes sous formes matricielle comme je vous montre :

Je voulais adapter ça à la somme qui me pose problème mais j'ai pas réussi.

Double somme

Posté par
lafol Moderateur
re : Double somme 12-07-18 à 23:08

tu peux faire un tableau comme ça, ici j'ai fait comme si m était plus grand que n, tu adaptes si ce n'est pas le cas ...

Double somme

la somme comme elle est donnée : ligne par ligne
(*0) : si j = 0, k varie de 0 à n+0
(*1) : si j = 1, k varie de 1 à n+1
(*2) : si j = 2, k varie de 2 à n+2
...
(*m) : si j = m, k varie de m à n+m

la somme une fois les sigmas échangés : (il faudra aussi adapter si m n'est pas supérieur, mais inférieur à n), colonne par colonne :
(**0) : si k = 0, j varie de 0 à 0
(**1) : si k = 1, j varie de 0 à 1
(**2) : si k = 2, j varie de 0 à 2
...
(**n) : si k = n, j varie de 0 à n
-------------
(**n+1) : si k =n+1, j varie de1 à n+1
(**n+2) : si k = n+2, j varie de 2 à n+2
...
(**m) : si k =m, j varie de (m-n) à m (qui vaut n + (m-n))
-------------
(**m+1) : si k = m+1, j varie de m-n+1 à m
...
(**n+m) : si k = n+m, j varie de n+m à n+m

Donc une fois l'échange fait, il faut scinder ta somme en trois ; une pour k de 0 à n, une pour k de n+1 à m, une pour k de m+1 à m+n (toujours dans le cas n < m)

Posté par
Ramanujan
re : Double somme 14-07-18 à 17:06

Merci !

Ca ressemble à me représentation, ce qui me bloquait c'était le détail que vous avez évoqué : n est plus grand ou plus petit que m ? Du coup je savais pas où le placer.

Et j'avais pas vu l'astuce : m=n+(m-n)

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