Double somme

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Double somme 
Posté par 
flight  18-05-23 à 20:00
Bonsoir 

je vous propose l'exercice suivant : 

Calculer la double somme  min(2i+1 , j+1) , avec la contrainte  1i< j n
 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 15:21
Bonjour,

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Deux formules qu'on peut certainement réduire à une seule :

 Si ,  

 Si ,  
 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 16:12
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Finalement avec une formule :

où les crochets représentent la "partie entière de".
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 16:37
Salut,

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Avec  partie entière
 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 16:48
Bonjour matheux14,

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Il me semble que ta formule ne fonctionne pas (à une unité près) pour les  impairs.

A confirmer ...
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 16:53
Salut lake, je ne vois pas de problème..

Je revérifie mes calculs.
 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 16:55
Je peux me tromper ...

On nous départagera certainement 
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 16:57
Ah oui, j'ai fait une erreur de calcul effectivement. 
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 17:01
Pour n = 7, on trouve S = 111 avec ta formule.

Pour n = 7, on trouve S = 112 avec la mienne.
 Posté par 
flightre : Double somme   19-05-23 à 18:37
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salut

c'est lake qui a raison , de mon coté j'ai trouvé une formule un peu longue : 

S(n)= ((1/2)(i-1)(3i+2) + (n+1-2i)(2i+1))  +  (1/2)(n-i)(i+n+3).

la premiere somme va de i=1 à E((n+1)/2)   et la seconde somme va de i = E((n+1)/2)  +1  à  n  .

Un test avec n = 7   donne  bien 111  soit ici 88 + 23 = 111
 Posté par 
flightre : Double somme   19-05-23 à 18:39
c'est quand vrai ..cet exo est un peu costaud je l'avoue 
 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 19:00
Bonjour flight,

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J'avais pensé, à tort ?, que le but de la manœuvre était de déterminer une formule en fonction de  sans signes somme.

Formule que je réécris ici (des oublis de parenthèse et des crochets obscurs plus haut) :

En tout cas, merci : je me suis bien amusé 
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 19:04
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 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 19:09
Merci matheux14 pour tes "grandes" parties entières que je viens de découvrir 

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  ? (aucun mérite !  )
 Posté par 
matheux14re : Double somme   19-05-23 à 19:14
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 Posté par 
lakere : Double somme   19-05-23 à 21:55
Tout de même en passant :

Je me souviens de toi, matheux14, quand tu étais en terminale.

Je constate, au vu de tes messages récents, que tu as énormément progressé.

Je te félicite ! 
 Posté par 
lakere : Double somme   23-05-23 à 15:06
Bonjour à toutes et à tous,

Je relance le fil de flight :

Soit 

Prouver que 

Bien sûr : très calculatoire. Je conçois que ce n'est pas la tasse de thé des intervenants ici. Moi j'aime bien 
 Posté par 
lakere : Double somme   23-05-23 à 15:24
Oublié de signaler que  est un entier naturel supérieur ou égal à  
 Posté par 
Ulmierere : Double somme   23-05-23 à 17:03
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Puisque n>1, on peut prendre i inférieur ou égal à n-1 sans réfléchir et

Ensuite il faut couper en deux la seconde somme.

Pour les i > floor(n/2)+1, on aura i > n-i >= j et donc min(i,j) = j, ce qui fait une somme intérieure (n-i)(n+1-i)/2

Pour les i <= floor(n/2), on aura au contraire i <= 2i - i <= n - i donc la question se pose de savoir si j < i ou pas. La somme intérieure vaut alors 

On somme maintenant sur i

Le premier terme donne 

Le deuxième terme donne , où 

Et le troisième terme donne .

La somme est donc égale à  , où r = n - m = ceil(n/2)

Flemme de vérifier le calcul, mais ça a une bonne tête et ça donne bien l'équivalence à  de lake 
 Posté par 
lakere : Double somme   24-05-23 à 14:26
Bonjour,

Avec ,    

Une solution :

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On peut écrire  de deux manières :

    (1)

    (2)

En partant de (1) :

En supposant  pair, on sépare les  pairs et les  impairs :

 Pour  pair, 

 Avec  pair, 

Donc avec  impair, 

 En résumé : 

Si  est impair,  est un entier et 

 Posté par 
lakere : Double somme   24-05-23 à 16:55
Évidemment, cet exercice calculatoire n'intéresse pas grand monde. Je le comprends. J'avais mis un soin particulier pour écrire le message précédent. Malheureusement j'ai oublié une ligne qui rend le tout un peu abscons. 

Immédiatement après :

Citation :
En partant de (1) :

il faut lire :
et la suite ...

 Posté par 
matheux14re : Double somme   25-05-23 à 17:32
Salut, un petit programme 

import math

def calculate_Sn(n):
    numerator = n * (2 * n**2 + 5 * n - 6)
    Sn = math.floor(numerator / 8)
    return Sn

n = 1000
result = calculate_Sn(n)
print("S_n pour n =", n, "est :", result)
 Posté par 
lakere : Double somme   25-05-23 à 17:44

PDF - 75 Ko
 Posté par 
matheux14re : Double somme   25-05-23 à 22:09
Avec quoi avez vous calculé les deux premières expressions ?
 Posté par 
lakere : Double somme   26-05-23 à 07:53
Un logiciel de calcul, ici Maple, pas "donné" mais il y en a d'autres gratuits.
  Posté par 
lakere : Double somme   26-05-23 à 09:18
Une coquille à 14h26 :

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