salut

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soit un entier carré à p chiffres

sa doublure est

il ne me semble pas que soit un carré puisque   et 2 n'est pas un carré modulo 3

Il me semble que tu ne réponds qu'à la première mais c'est déjà pas mal
Imod

effectivement, j'ai été un peu vite en besogne : j'ai biffé l'adjectif carré alors que je n'aurais pas dû !!

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si mon raisonnement précédent permet de conclure que pour que m soit un carré

Bonjour,
merci pour ette question 2 très intéressante, je trouve (et je l'ai démontré) :

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n=13223140496

C'est la bonne réponse

Il est amusant de décrire l'ensemble des solutions ainsi que la racine carrée de la doublure carrée

Imod

Bonjour,
Je cherche mais au passage j'ai trouvé des entiers dont le carré se dédouble en deux carrés.
Ca peut servir...

Bonjour,

à mon avis il faudrait éliminer les 0 non significatifs

256036 devrait être éliminé car le carré de 6 est 36, pas 036

Une petite remarque pour aider : la première question n'était qu'un indice pour la deuxième . En effet tout entier est un diviseur de sa doublure .
Imod

Bonjour,
on peut effectivement décrire les nombres dont la doublure est un carré mais il n'y a pas de formule qui les donne tous.

Les plus petites valeurs de n dont la doublure est un carré possèdent 11 chiffres, il y en a 7.
Les racines carrées sont égales à :

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pour

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En effet "11" joue un rôle très particulier , au moins dans les premiers cas , après est-ce le seul ? Je n'en suis pas sûr .
Imod

Il n'y a pas que 11 qui joue un rôle, il y a 7,11,13,19,23,29,47,... mais pas 41, 43, 53.

Je ne sais pas qu'elle est la raison.

On vérifie que 363636363634²=132231404961323140496

Bonjour,
les diviseurs premiers possibles des 10^p+1 sont :

11
101
7 × 11 × 13
73 × 137
11 × 9091
101 × 9901
11 × 909091
17 × 5882353
7 × 11 × 13 × 19 × 52579
101 × 3541 × 27961
11² × 23 × 4093 × 8779
73 × 137 × 99990001
11 × 859 × 1058313049
29 × 101 × 281 × 121499449
7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 2161 × 9091
353 × 449 × 641 × 1409 × 69857
11 × 103 × 4013 × 21993833369
101 × 9901 × 999999000001
11 × 909090909090909091
73 × 137 × 1676321 × 5964848081
7² × 11 × 13 × 127 × 2689 × 459691 × 909091
89 × 101 × 1052788969 × 1056689261
11 × 47 × 139 × 2531 × 549797184491917
17 × 5882353 × 9999999900000001
11 × 251 × 5051 × 9091 × 78875943472201
...
en rouge les cas où un facteur est au carré.
en particulier le premier cas étant
100000000001 = 11 * 9090909091 = 11² * 826446281
826446281 k² à 11 chiffres donne k = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
826446281*100000000001*16=36363636364²
826446281*100000000001*25=45454545455²
826446281*100000000001*36=54545454546²
826446281*100000000001*49=63636363637²
826446281*100000000001*64=72727272728²
826446281*100000000001*81=81818181819²
826446281*100000000001*100=90909090910²
c'est à dire les 7 solutions à 11 chiffres pour a.

on peut faire de même avec
1000000000000000000001 = 7² * 20408163265306122449
et les 20408163265306122449 k² à 21 chiffres
mais la calculette de Windows déclare forfait...
cela donne (sur une console Python)
k = 3 : la doublure de 183673469387755102041 = 428571428571428571429²
etc

pour en chercher d'autres (des 10^p+1 avec des facteurs carrés) il faudra aller beaucoup plus loin !

Tout est là , il "suffit" de trouver un 10^p+1 avec un facteur premier au carré . Les décompositions deviennent assez vite laborieuses .
Imod

C'est vrai que pour calculer avec des grands nombres il est préférable de posséder un outil de calcul (python le fait très bien).

Il y a un moyen très simple de trouver des valeurs de k telles que 10^k+1 soit divisible par un nombre premier au carré.

Soit un nombre premier supérieur à 5.
Si alors par la formule du binôme.

Comme on essaie puis jusqu'à obtenir .

Par exemple pour on l'obtient pour donc . On prend ensuite avec pour que possède 39 chiffres.

bonsoir

exercice interessant à faire en programmation ....autrement c'est fastidieux

Evidemment que la programmation peut aider mais s'il  faut lister toutes les doublures pour regarder si elles sont des carrés l'exercice perd tout intérêt . L'argument de Jandri juste au dessus donne un moyen efficace de mener la recherche .

Imod