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Doublures carrées

Posté par
Imod
18-06-24 à 17:04

Bonjour à tous

On définit la doublure d'un entier strictement positif de la façon suivante : 14821482 est la doublure de 1482 . Elle est unique si on refuse les zéros inutiles . Deux questions :

1°) Existe-t-il un carré dont la doublure est un carré ?
2°) Quel est le plus petit entier dont la doublure est un carré ?

On s'amuse sans blankage excessif

Imod

Posté par
carpediem
re : Doublures carrées 18-06-24 à 17:57

salut

 Cliquez pour afficher


il le semble que cela réponde aux deux questions

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 18-06-24 à 18:00

Il me semble que tu ne réponds qu'à la première mais c'est déjà pas mal
Imod

Posté par
carpediem
re : Doublures carrées 18-06-24 à 18:47

effectivement, j'ai été un peu vite en besogne : j'ai biffé l'adjectif carré alors que je n'aurais pas dû !!

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Posté par
jandri Correcteur
re : Doublures carrées 18-06-24 à 19:27

Bonjour,
merci pour ette question 2 très intéressante, je trouve (et je l'ai démontré) :

 Cliquez pour afficher

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 18-06-24 à 21:29

C'est la bonne réponse

Il est amusant de décrire l'ensemble des solutions ainsi que la racine carrée de la doublure carrée

Imod

Posté par
dpi
re : Doublures carrées 19-06-24 à 08:21

Bonjour,
Je cherche mais au passage j'ai trouvé des entiers dont le carré se dédouble en deux carrés.
Ca peut servir...

Doublures carrées

Posté par
mathafou Moderateur
re : Doublures carrées 19-06-24 à 10:39

Bonjour,

à mon avis il faudrait éliminer les 0 non significatifs

256036 devrait être éliminé car le carré de 6 est 36, pas 036

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 19-06-24 à 11:18

Une petite remarque pour aider : la première question n'était qu'un indice pour la deuxième . En effet tout entier est un diviseur de sa doublure .
Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Doublures carrées 19-06-24 à 11:37

Bonjour,
on peut effectivement décrire les nombres dont la doublure est un carré mais il n'y a pas de formule qui les donne tous.

Les plus petites valeurs de n dont la doublure est un carré possèdent 11 chiffres, il y en a 7.
Les racines carrées sont égales à :

 Cliquez pour afficher

Elles sont liées au développement décimal de
 Cliquez pour afficher

Les suivantes ont 21 chiffres, il y en a 4.
Ensuite c'est compliqué, il y en a 7 qui ont 33 chiffres, il y en a 8 qui ont 39 chiffres, etc ...

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 19-06-24 à 12:15

En effet "11" joue un rôle très particulier , au moins dans les premiers cas , après est-ce le seul ? Je n'en suis pas sûr .
Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Doublures carrées 19-06-24 à 13:22

Il n'y a pas que 11 qui joue un rôle, il y a 7,11,13,19,23,29,47,... mais pas 41, 43, 53.

Je ne sais pas qu'elle est la raison.

Posté par
dpi
re : Doublures carrées 19-06-24 à 14:42

On vérifie que 363636363634²=132231404961323140496

Posté par
mathafou Moderateur
re : Doublures carrées 19-06-24 à 14:46

Bonjour,
les diviseurs premiers possibles des 10p+1 sont :

11
101
7 × 11 × 13
73 × 137
11 × 9091
101 × 9901
11 × 909091
17 × 5882353
7 × 11 × 13 × 19 × 52579
101 × 3541 × 27961
11² × 23 × 4093 × 8779
73 × 137 × 99990001
11 × 859 × 1058313049
29 × 101 × 281 × 121499449
7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 2161 × 9091
353 × 449 × 641 × 1409 × 69857
11 × 103 × 4013 × 21993833369
101 × 9901 × 999999000001
11 × 909090909090909091
73 × 137 × 1676321 × 5964848081
× 11 × 13 × 127 × 2689 × 459691 × 909091
89 × 101 × 1052788969 × 1056689261
11 × 47 × 139 × 2531 × 549797184491917
17 × 5882353 × 9999999900000001
11 × 251 × 5051 × 9091 × 78875943472201
...
en rouge les cas où un facteur est au carré.
en particulier le premier cas étant
100000000001 = 11 * 9090909091 = 11² * 826446281
826446281 k² à 11 chiffres donne k = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
826446281*100000000001*16=36363636364²
826446281*100000000001*25=45454545455²
826446281*100000000001*36=54545454546²
826446281*100000000001*49=63636363637²
826446281*100000000001*64=72727272728²
826446281*100000000001*81=81818181819²
826446281*100000000001*100=90909090910²
c'est à dire les 7 solutions à 11 chiffres pour a.

on peut faire de même avec
1000000000000000000001 = 7² * 20408163265306122449
et les 20408163265306122449 k² à 21 chiffres
mais la calculette de Windows déclare forfait...
cela donne (sur une console Python)
k = 3 : la doublure de 183673469387755102041 = 428571428571428571429²
etc

pour en chercher d'autres (des 10p+1 avec des facteurs carrés) il faudra aller beaucoup plus loin !

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 19-06-24 à 17:14

Tout est là , il "suffit" de trouver un 10^p+1 avec un facteur premier au carré . Les décompositions deviennent assez vite laborieuses .
Imod

Posté par
jandri Correcteur
re : Doublures carrées 19-06-24 à 18:15

C'est vrai que pour calculer avec des grands nombres il est préférable de posséder un outil de calcul (python le fait très bien).

Il y a un moyen très simple de trouver des valeurs de k telles que 10^k+1 soit divisible par un nombre premier au carré.

Soit p un nombre premier supérieur à 5.
Si 10^k\equiv -1\pmod p alors 10^{kp}\equiv -1\pmod {p^2} par la formule du binôme.

Comme 10^{p-1}\equiv 1\pmod {p} on essaie k=\dfrac{p-1}2 puis k=\dfrac{p-1}4 jusqu'à obtenir 10^k\equiv -1\pmod p.

Par exemple pour p=13 on l'obtient pour k=3 donc 10^{39}+1=13^2a. On prend ensuite n=ab^2 avec 5\leq b\leq 12 pour que n possède 39 chiffres.

Posté par
flight
re : Doublures carrées 21-06-24 à 23:09

bonsoir

exercice interessant à faire en programmation ....autrement c'est fastidieux

Posté par
Imod
re : Doublures carrées 22-06-24 à 12:04

Evidemment que la programmation peut aider mais s'il  faut lister toutes les doublures pour regarder si elles sont des carrés l'exercice perd tout intérêt . L'argument de Jandri juste au dessus donne un moyen efficace de mener la recherche .

Imod



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