Bonjour,
j'ai une question concernant l'intersection de deux plans :
Voici la propriété du cours :
Soient deux plans , et avec et
Si et ne sont pas proportionnels alors est une droite dirigée par le vecteur
Et voici la démonstration :
Supposons le repère orthonormal.
et ont respectivement pour vecteur normal :
et
Par hypothèse, et ne sont pas colinéaires, donc et ne sont pas parallèles et se coupent selon une droite .
est incluse dans et donc elle est orthogonale à et à .
Elle est donc dirigée par (vecteur non nul orthogonal à et ).
En traduisant au niveau des coordonnées, nous venons de montrer que l'ensemble des solutions du système:
a une représentation paramétrique de la forme :
On peut vérifier ce résultat par le calcul, il reste valable même si le repère n'est pas orthogonal.
Dans tous les cas, est donc bien une droite dirigée par .
Ma question est comment effectuer la vérification par calcul et cela même si le repère n'est pas orthogonal (et qu'en est-il s'il n'est pas normé?)
salut
parce que le dernier résultat traduit simplement la colinéarité de deux vecteurs ... qui ne nécessite pas que le repère soit orthogonal ou plus ...
En effet le produit vectoriel et le déterminant dans l'espace ne dépendent pas d'une base car ils sont définis ainsi :
si et sont non nuls.
si ou
si et sont colinéaires
sinon, étant unitaire, directement orthogonal à et à
Ceci dit, la notation entre deux barres (| |) pour le déterminant (qu'il soit dans le plan ou dans l'espace) est réservé uniquement dans le cas où le repère est orthonormé direct.
non la norme ne dépend pas d'un repère orthonormé ou pas la norme provient d'un produit scalaire qui ne dépend pas de la base
dans la base "canonique" orthonormée (i, j) le prduit scaaire des vecteurs u = x(, y) et v = (p, q) est donnée par <u | v> = xp + uq
mais je peux très bien (et toi aussi donner (une expression ou formule de) ce même produit scalaire dans la base (i, i + j)...
le résultat sera évidemment le même mais son expression en fonction des coordonnées de u et de v ne sera évidemment pas la même ...
Bonjour,
Je propose une vérification non théorique.
Si on a comme prérequis que deux plans non parallèles ont une intersection qui est une droite, alors :
Si les coefficients (a,b,c) et (a',b',c') ne sont pas proportionnels, soit A un point de la droite intersection.
Soient x0, y0, z0 les coordonnées du point A et D1, D2, D3 les 3 déterminants 22.
Vérifier par le calcul que M de coordonnées (x0+tD1, y0+tD2, z0+tD3) appartient aux deux plans est assez facile.
Bonjour
Une autre façon de répondre à ta question:
Dans un repère qcq l'intersection de de P et P' est l'ensemble des points de coordonnées vérifiant les 2 équations (de P et P') donc solutions du sytème linéaires
MX=D où
M=
où M est la matrice 2 x 3
M=
[a b c ,
a',b',c']
et D
Par hypothèse M est de rang 2 donc sont son noyau ker(M) est de dimension 1.
Par conséquent D appartient à Im(M) , le système MX=D admet au moins une solution, soit $X_0$ une solution particulière. L'ensemble des solutions est donc
C'est donc une droite affine.
Soit u un vecteur de base de
L'ensemble des solutions est
Il te reste à vérifier que ton vecteur u est bien dans Ker (M).
Bonjour,
Effectivement, une fois justifié que l'intersection des 2 plans n'est pas vide, il suffit de vérifier que le vecteur u convient.
Pour "découvrir" un vecteur u qui convient, on utilise les outils de la géométrie euclidienne.
Une fois trouvé, on peut le vérifier sans ces outils.
Bonsoir,
on peut aussi dire que l'intersection de deux plans est une propriété affine.
Elle reste invariante par n'importe quelle transformation affine.
Ce que l'on a trouvé dans une base orthonormale reste vrai dans n'importe quelle base.
Je reviens à mon message du 09/08 à 20:51 :
Bon finalement dans l'espace un angle de vecteurs n'a pas d'orientation naturelle, un angle de l'espace n'est pas orienté. Donc je retire ce que je viens de poster.
Je persiste à dire que le déterminant dans le plan dépend du caractère orthonormé du repère : en effet, si le repère est orthonormé direct, si le repère est orthonormé indirect. Sinon, il vaut , ce qui n'est pas forcément ou .
Alors peut-être que le déterminant dans l'espace cette fois ne dépend pas du caractère orthogonal/orthonormé du repère, je ne sais pas.
Le produit scalaire dans l'espace dépend des caractères orthogonal et normé du repère car si et sont orthogonaux, sinon. De plus, si est normé (c'est-à-dire ), , sinon.
Je crois que mon dernier message était totalement inadapté à ton niveau.
Dommage.
C'est là que l'on voit l'avantage de donner un profil précis.
Bonjour à tous
sgu35, ton profil n'est pas renseigné. Merci de le faire en renseignant ton niveau exact. Cela est nécessaire pour cibler l'aide qu'on peut apporter.
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