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droite comme intersection de deux plans

Posté par
sgu35
09-08-20 à 19:26

Bonjour,
j'ai une question concernant l'intersection de deux plans :

Voici la propriété du cours :

Soient deux plans P : ax+by+cz+d=0, et P' : a'x+b'y+c'z+d'=0 avec (a,b,c) et (a',b',c')\ne (0,0,0)

Si (a,b,c) et (a',b',c') ne sont pas proportionnels alors P\cap P' est une droite dirigée par le vecteur \vec{u} \Bigg(\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}, - \begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}\Bigg)

Et voici la démonstration :
Supposons le repère orthonormal.
P et P' ont respectivement pour vecteur normal :
\vec{n}(a,b,c) et \vec{n'}(a',b',c')
Par hypothèse, \vec{n} et \vec{n'} ne sont pas colinéaires, donc P et P' ne sont pas parallèles et se coupent selon une droite \Delta.
\Delta est incluse dans P et P' donc elle est orthogonale à \vec{n} et à \vec{n'}.
Elle est donc dirigée par  \vec{u}=\vec{n} \land \vec{n'} (vecteur non nul orthogonal à \vec{n} et \vec{n'}).
En traduisant au niveau des coordonnées, nous venons de montrer que l'ensemble des solutions du système:
 \begin{cases}ax+by+cz+d=0 \\ a'x+b'y+c'z+d'=0 \end{cases}
a une représentation paramétrique de la forme :
\begin{cases}x=x_0+t \begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix} \\y=y_0-t\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix} \\ z=z_0+t\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}\end{cases}, t\in\R
On peut vérifier ce résultat par le calcul, il reste valable même si le repère n'est pas orthogonal.
Dans tous les cas, P \cap P ' est donc bien une droite dirigée par \vec{u}.

Ma question est comment effectuer la vérification par calcul et cela même si le repère n'est pas orthogonal (et qu'en est-il s'il n'est pas normé?)

Posté par
carpediem
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:16

salut

parce que le dernier résultat traduit simplement la colinéarité de deux vecteurs  ... qui ne nécessite pas que le repère soit orthogonal ou plus ...

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:20

Mais pour trouver les coordonnées de \vec{u} il faut bien que le repère soit orthonormé, non?

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:20

Mais pour trouver les coordonnées de \vec{u} il faut bien que le repère soit orthonormé, non?

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:25

Pardon, pour trouver x_u= \begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}, y_u=-\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}, et z_u=\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}, il faut que le repère soit orthonormé?

Posté par
carpediem
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:26

pourquoi ?

tu les obtiens à partir de déterminants ... qui ne dépendent pas d'une base ...

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 20:51

En effet le produit vectoriel et le déterminant dans l'espace ne dépendent pas d'une base car ils sont définis ainsi :
Det(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}||.||\vec{v}||.sin(\vec{u},\vec{v}) si \vec{u} et \vec{v} sont non nuls.
0 si \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0}
\vec{u}\land \vec{v} = \vec{0} si  \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires
||\vec{u}||.||\vec{v}||.sin(\vec{u},\vec{v}) \vec{k} sinon, \vec{k} étant unitaire, directement orthogonal à \vec{u} et à \vec{v}
                                            
Ceci dit, la notation entre deux barres (| |) pour le déterminant (qu'il soit dans le plan ou dans l'espace) est réservé uniquement dans le cas où le repère est orthonormé direct.

Posté par
carpediem
re : droite comme intersection de deux plans 09-08-20 à 21:54

non la norme ne dépend pas d'un repère orthonormé ou pas la norme provient d'un produit scalaire qui ne dépend pas de la base

dans la base "canonique" orthonormée (i, j) le prduit scaaire des vecteurs u = x(, y) et v = (p, q) est donnée par <u | v> = xp + uq

mais je peux très bien (et toi aussi donner (une expression ou formule de) ce même produit scalaire dans la base (i, i + j)...

le résultat sera évidemment le même mais son expression en fonction des coordonnées de u et de v ne sera évidemment pas la même ...

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 10:16

Citation :
non la norme ne dépend pas d'un repère orthonormé ou pas la norme provient d'un produit scalaire qui ne dépend pas de la base

Je n'ai jamais dit que la norme dépendait d'un repère orthonormé.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 11:23

Citation :
dans la base "canonique" orthonormée (i, j) le prduit scaaire des vecteurs u = x(, y) et v = (p, q) est donnée par <u | v> = xp + uq

La base canonique est-elle directe en plus d'être orthonormée?

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 11:24

Ah non, le produit scalaire ne dépend pas de l'orientation de la base directe/indirecte.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 12:38

Bonjour,
Je propose une vérification non théorique.
Si on a comme prérequis que deux plans non parallèles ont une intersection qui est une droite, alors :
Si les coefficients (a,b,c) et (a',b',c') ne sont pas proportionnels, soit A un point de la droite intersection.
Soient x0, y0, z0 les coordonnées du point A et D1, D2, D3 les 3 déterminants 22.
Vérifier par le calcul que M de coordonnées (x0+tD1, y0+tD2, z0+tD3) appartient aux deux plans est assez facile.

Posté par
XZ19
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 17:43

Bonjour

Une autre façon de répondre à ta question:  

Dans un repère qcq  l'intersection de de P et P'  est l'ensemble des  points de coordonnées X=(x,y,z)^t     vérifiant les 2 équations (de P et P')  donc solutions du sytème linéaires  


MX=D   où  


M=

Posté par
XZ19
re : droite comme intersection de deux plans 10-08-20 à 17:52

où  M est la matrice 2 x  3  

M=
[a b c  ,
a',b',c']  

et D=(-d,  -d') ^t.  


Par hypothèse  M  est de rang 2  donc sont son noyau ker(M) est de dimension 1.    

Par conséquent D  appartient à Im(M)  , le système MX=D  admet au moins une solution, soit $X_0$   une solution particulière.  L'ensemble des solutions est donc  

X_0+Ker (M) .  C'est donc une droite affine.  

Soit u un vecteur de base de Ker(M).  

L'ensemble des solutions  est X=X_0+t u, t\in \R


Il te reste à vérifier que ton vecteur u est bien dans Ker (M).  

  
  
  


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : droite comme intersection de deux plans 11-08-20 à 07:34

Bonjour,
Effectivement, une fois justifié que l'intersection des 2 plans n'est pas vide, il suffit de vérifier que le vecteur u convient.
Pour "découvrir" un vecteur u qui convient, on utilise les outils de la géométrie euclidienne.
Une fois trouvé, on peut le vérifier sans ces outils.

Posté par
verdurin
re : droite comme intersection de deux plans 11-08-20 à 18:01

Bonsoir,
on peut aussi dire que l'intersection de deux plans est une propriété affine.
Elle reste invariante par n'importe quelle transformation affine.
Ce que l'on a trouvé dans une base orthonormale reste vrai dans n'importe quelle base.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 11:44

Désolé je ne connais pas encore les matrices...

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 12:50

Je reviens à mon message du 09/08 à 20:51 :

Citation :
En effet le produit vectoriel et le déterminant dans l'espace ne dépendent pas d'une base car ils sont définis ainsi :
Det(\vec{u},\vec{v})=||\vec{u}||.||\vec{v}||.sin(\vec{u},\vec{v}) si \vec{u} et \vec{v} sont non nuls.
0 si \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0}
\vec{u}\land \vec{v} = \vec{0} si  \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires
||\vec{u}||.||\vec{v}||.sin(\vec{u},\vec{v}) \vec{k} sinon, \vec{k} étant unitaire, directement orthogonal à \vec{u} et à \vec{v}


J'ai omis de dire que le plan doit être orienté pour définir le produit scalaire.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 12:52

Citation :
J'ai omis de dire que le plan doit être orienté pour définir le produit scalaire.

pardon, le plan doit être orienté pour définir le déterminant et le produit vectoriel car un sinus intervient dans leur définition.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 12:58

Bon finalement dans l'espace un angle de vecteurs n'a pas d'orientation naturelle, un angle de l'espace n'est pas orienté. Donc je retire ce que je viens de poster.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 13:12

Je persiste à dire que le déterminant dans le plan dépend du caractère orthonormé du repère (0,\vec{i},\vec{j}) : en effet, Det(\vec{i},\vec{j})=1 si le repère est orthonormé direct, -1 si le repère est orthonormé indirect. Sinon, il vaut ||\vec{i}||.||\vec{j}||.sin(\vec{i},\vec{j}), ce qui n'est pas forcément 1 ou -1.
Alors peut-être que le déterminant dans l'espace cette fois ne dépend pas du caractère orthogonal/orthonormé du repère, je ne sais pas.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 13:25

Le produit scalaire dans l'espace dépend des caractères orthogonal et normé du repère car \vec{i}.\vec{j}=0 si \vec{i} et \vec{j} sont orthogonaux, \ne 0 sinon. De plus, si \vec{i} est normé (c'est-à-dire ||\vec{i}||=1), \vec{i}.\vec{i}=1, \ne 1 sinon.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 13:36

Mon livre indique que si (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) est une base orthonormale de l'espace, et si \vec{u}(x,y,z) et \vec{v}(x',y',z'), alors \vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'.

Posté par
verdurin
re : droite comme intersection de deux plans 14-08-20 à 23:33

Je crois que mon dernier message était totalement inadapté à ton niveau.
Dommage.
C'est là que l'on voit l'avantage de donner un profil précis.

Posté par
malou Webmaster
re : droite comme intersection de deux plans 15-08-20 à 08:41

Bonjour à tous

sgu35, ton profil n'est pas renseigné. Merci de le faire en renseignant ton niveau exact. Cela est nécessaire pour cibler l'aide qu'on peut apporter.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?



Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 17-08-20 à 15:29


Citation :
mais je peux très bien (et toi aussi donner (une expression ou formule de) ce même produit scalaire dans la base (i, i + j)...

le résultat sera évidemment le même mais son expression en fonction des coordonnées de u et de v ne sera évidemment pas la même ...


Supposons que (\vec{i}, \vec{j}) est une base orthonormale du plan.
On a alors :
\vec{u}.\vec{v}=(x_u \vec{i}+y_u \vec{i+j}).(x_v \vec{i}+y_v\vec{i+j})
 \\ =((x_u+y_u )\vec{i}+y_u \vec{j}).((x_v +y_v)\vec{i}+y_v\vec{j})
 \\ =(x_u+y_u).(x_v+y_v)+y_u. y_v
Je ne vois pas en quoi le résultat que je viens de donner est le même que le produit scalaire dans un repère orthonormé : x_u.x_v+y_u.y_v.

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 17-08-20 à 15:34

Citation :
Vérifier par le calcul que M de coordonnées (x0+tD1, y0+tD2, z0+tD3) appartient aux deux plans est assez facile.

Comment cela?
Faut-il utiliser des résultats de cours sur les déterminants?

Posté par
carpediem
re : droite comme intersection de deux plans 17-08-20 à 17:08

sgu35 @ 17-08-2020 à 15:29


Citation :
mais je peux très bien (et toi aussi donner (une expression ou formule de) ce même produit scalaire dans la base (i, i + j)...

le résultat sera évidemment le même mais son expression en fonction des coordonnées de u et de v ne sera évidemment pas la même ...


Supposons que (\vec{i}, \vec{j}) est une base orthonormale du plan.
On a alors :
\vec{u}.\vec{v}=(x_u \vec{i}+y_u \vec{i+j}).(x_v \vec{i}+y_v\vec{i+j})
 \\ =((x_u+y_u )\vec{i}+y_u \vec{j}).((x_v +y_v)\vec{i}+y_v\vec{j})
 \\ =(x_u+y_u).(x_v+y_v)+y_u. y_v
Je ne vois pas en quoi le résultat que je viens de donner est le même que le produit scalaire dans un repère orthonormé : x_u.x_v+y_u.y_v.
il me semble que le pb est mal traduit ...

soit (i, j) la base orthonormée canonique, u = (a, b) et v = (c, d)

alors u.v = ac + bd  (*)

maintenant prenons la base (i, i + j) par exemple ... soit u = (p, q) et v = (r, s) les coordonnées de u et v dans cette base

alors u . v = [pi + q(i + j)] . [ri + s(i + j)] = pr + ps + qr + 2qs est l'expression du produit scalaire de u et v dans cette base

maintenant si tu exprimes p, q, r et s en fonction de a, b, c et d tu verras que cela donne bien (*)

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 17-08-20 à 17:20

J'ai fait le calcul et je trouve bien le résultat souhaité,
merci!

Posté par
carpediem
re : droite comme intersection de deux plans 17-08-20 à 17:39

de rien

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 21-08-20 à 21:03

Citation :
non la norme ne dépend pas d'un repère orthonormé ou pas la norme provient d'un produit scalaire qui ne dépend pas de la base

Comment définit-on la norme et le produit scalaire?

Posté par
sgu35
re : droite comme intersection de deux plans 21-08-20 à 21:11

Citation :
Dans un repère qcq  l'intersection de de P et P'  est l'ensemble des  points de coordonnées X=(x,y,z)^t     vérifiant les 2 équations (de P et P')  donc solutions du système linéaire  

Je n'ai pas compris la phrase en bleu
doit-on comprendre :  l'ensemble des points de coordonnées X=(x,y,z)^t vérifiant les 2 équations de P et P' et qui sont donc solutions du système linéaire
?



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