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Droite équation cercle
Dans un repère orthonormé ( O,i,j ), soit C le cercle de centre I(2;-1) et de rayon (racine5)/2 et D la droite d'équation 2x+y+1=0.
1° Déterminer l'équation de C et les coordonnées des points d'intersection A et B du Cercle avec l'axe des abcisses.
J'ai fait je trouve
C: x²+y²-4x+2y-(15/4)
A(3/2;0) B(5/2;0)
LA SUITE JE N'Y ARRIVE PAS
2°Déterminer une équation cartésienne de la droite delta passant par I et perpendiculaire à la droite D
3°Déterminer les équations cartésiennes des deux droite delta1 et delta2 tangentes au cerlce C et parallèles à la droite D.
Dans un repère orthonormé ( O,i,j ), soit C le cercle de centre I(2;-1) et de rayon (racine5)/2 et D la droite d'équation 2x+y+1=0.
1° Déterminer l'équation de C et les coordonnées des points d'intersection A et B du Cercle avec l'axe des abcisses.
J'ai fait je trouve
C: x²+y²-4x+2y-(15/4)
A(3/2;0) B(5/2;0)
LA SUITE JE N'Y ARRIVE PAS
2°Déterminer une équation cartésienne de la droite delta passant par I et perpendiculaire à la droite D
3°Déterminer les équations cartésiennes des deux droite delta1 et delta2 tangentes au cerlce C et parallèles à la droite D.
Bonjour,
L'équation de ton cercle est :
Coordonnées des points d'intersection avec l'axe des abscisses
Il suffit de remplacer y par 0 
Skops 
(x-2)²+(y+1)² = (V5 /2)²
(x-2)²+(y+1)² = 5/4
x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 5/4
C: x² + y² - 4x + 2y + (15/4) = 0
-----
y = 0 --> x² - 4x + (15/4) = 0
x = 3/2 et x = 5/2
A(3/2 ; 0) et B(5/2 ; 0)
-----
D: 2x + y + 1 = 0
D: y = -2x - 1
Coeff angulaire de D : -2
Coeff angulaire des perpendiculaires à D : 1/2
y = (1/2)x + k
passe par I(2 ; -1) --> -1 = (1/2)*2 + k --> k = -2
delta: y = (1/2)x - 2
delta: 2y - x + 4 = 0
-----
delta 1 et delta 2 ont des équations de la forme: y = -2x + k
soit le système:
x² + y² - 4x + 2y + (15/4) = 0
y = -2x + k
x² + (-2x + k)² - 4x + 2(-2x + k) + (15/4) = 0
x² + 4x² + k² -4kx - 4x - 4x + 2k + (15/4) = 0
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
Cette équation doit avoir un delta = 0 (pour que les racines soient doubles).
Delta = (2(2+k))² - 5(k² + 2k + (15/4)) = 0
16 + 4k² + 16k - 5k² - 10k - 75/4 = 0
-k² + 6k - (11/4) = 0
--> k = 1/2 et k = 11/2
delta 1: y = -2x + (1/2)
delta 2: y = -2x + (11/2)
delta 1: 4x + 2y - 1 = 0
delta 2: 4x + 2y - 11 = 0
-----
Sauf distraction.
Merci de m'aider JP mais j'ai vraiment rien compris. C'est quoi le coefficient angulaire ?
Des deux DELTA : ils représentent quoi ? explique moi stp ^^
Coeff angulaire des perpendiculaires à D : 1/2
Comment je le montre ca ?
CA JAI RIEN COMPRIS
y = (1/2)x + k
passe par I(2 ; -1) --> -1 = (1/2)*2 + k --> k = -2
delta: y = (1/2)x - 2
delta: 2y - x + 4 = 0
-----
delta 1 et delta 2 ont des équations de la forme: y = -2x + k
soit le système:
x² + y² - 4x + 2y + (15/4) = 0
y = -2x + k
Pour que deux droites soit parallèles, il faut que le produit de leur coefficient directeur soit -1
Donc la perpendiculaire à D passant par I aura pour coeff directeur 1/2 (puisque -2*(1/2)=-1)
Donc de la forme y = (1/2)x + k
Comme la droite passe par I, on sait que si x=2 alors y=-1
Donc (1/2)*2 + k --> k = -2
Skops
2°Déterminer une équation cartésienne de la droite delta passant par I et perpendiculaire à la droite D
Reponse D: 2x + y + 1 = 0
D: y = -2x - 1
Coeff angulaire de D : -2
Coeff angulaire des perpendiculaires à D : 1/2
y = (1/2)x + k
passe par I(2 ; -1) --> -1 = (1/2)*2 + k --> k = -2
delta: y = (1/2)x - 2
delta: 2y - x + 4 = 0
delta: y = (1/2)x - 2
delta: 2y - x + 4 = 0
Ces deux choses la sont égales
delta : y = (1/2)x - 2 = 2y - x + 4
Pour que deux droites soit parallèles, il faut que le produit de leur coefficient directeur soit -1
Donc la perpendiculaire à D passant par I aura pour coeff directeur 1/2 (puisque -2*(1/2)=-1)
Tu parles de parallèles ...
Je rectifie
Pour que deux droites soit perpendiculaires il faut que le produit de leur coefficient directeur soit -1
Donc la perpendiculaire à D passant par I aura pour coeff directeur 1/2 (puisque -2*(1/2)=-1)
Donc de la forme y = (1/2)x + k
Comme la droite passe par I, on sait que si x=2 alors y=-1
Donc (1/2)*2 + k --> k = -2
Skops
Ah la je comprends mieux, merci Skops, mais reste là tu vas encore m'être utile. Mais MERCI POUR TOUT pour l'instant ^^
delta 1 et delta 2 ont des équations de la forme: y = -2x + k
soit le système:
x² + y² - 4x + 2y + (15/4) = 0
y = -2x + k
x² + (-2x + k)² - 4x + 2(-2x + k) + (15/4) = 0
x² + 4x² + k² -4kx - 4x - 4x + 2k + (15/4) = 0
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
Cette équation doit avoir un delta = 0 (pour que les racines soient doubles).
Delta = (2(2+k))² - 5(k² + 2k + (15/4)) = 0
16 + 4k² + 16k - 5k² - 10k - 75/4 = 0
-k² + 6k - (11/4) = 0
--> k = 1/2 et k = 11/2
delta 1: y = -2x + (1/2)
delta 2: y = -2x + (11/2)
delta 1: 4x + 2y - 1 = 0
delta 2: 4x + 2y - 11 = 0
LA j'ai rien compris :S
Comme les droites delta1 et delta2 sont // à D, on sait que leur coefficient directeur est le même que celui de D, soit -2
--> les équations de delta 1 et de delta 2 sont du type: y = -2x + k avec k un paramètre à déterminer.
delta 1, est tangente au cercle --> il y a un seul point commun entre delta 1 et le cercle.
On cherche donc les points de rencontre entre delta 1 et le cercle en résolvant le système:
x² + y² - 4x + 2y + (15/4) = 0
y = -2x + k
En éliminant y entre ces 2 équations, on arrive a:
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points de rencontre de delta 1 et du cercle.
Comme on sait qu'il ne faut qu'un seul point de rencontre (puisque delat 1 et le cercle sont tangents) , il faut que l'équation 5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0 n'ait qu'une seule solution.
--> que le Delta de "5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0 " soit égal à 0.
On calcule le delta de cette équation et on cherche les valeurs de k qui font que Delta = 0.
...
On trouve 2 valeurs de k telle que Delta = 0; c'est k = 1/2 et k = 11/2
C'est logique, une des valeurs de k correspont à delta 1 et l'autre à delta 2.
-->
delta 1: y = -2x + (1/2)
delta 2: y = -2x + (11/2)
delta 1: 4x + 2y - 1 = 0
delta 2: 4x + 2y - 11 = 0
-----
OK ?
Comme on sait qu'il ne faut qu'un seul point de rencontre (puisque delat 1 et le cercle sont tangents) , il faut que l'équation 5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0 n'ait qu'une seule solution.
On trouve 2 valeurs de k telle que Delta = 0; c'est k = 1/2 et k = 11/2
Il ne faut qu'un seul point, mais tu trouves 2 valeurs
Je ne comprends pas tout ca, y'a pas un autre moyen plus simple ?
Et comment passe-t-on de :
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
à
Delta = (2(2+k))² - 5(k² + 2k + (15/4)) = 0
"Il ne faut qu'un seul point, mais tu trouves 2 valeurs"
Il faut conprendre ce qui se cache derrière les mots.
Il y a une racine double( et donc un seul point) pour k = 1/2 et il y a une racine double (et donc un seul point) pour k = 11/2
k = 1/2 correspond a une tangente
k = 11/2 correspond a une seconde tangente.
Donc en fait on cherche les valeurs qui font que
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
C'est ca non ? mais comment on les trouve ( avec le delta mais comment l'utiliser ? )
Non, on ne cherche pas les valeurs de k qui font que
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
On cherche les valeurs de k qui font que l'équation 5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0 ait une solution double, ce qui est FONDAMENTALEMENT différent.
Et si tu lisais TOUS mes postes précédents.
Pour que l'équation 5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0 ait une solution double, il faut et il suffit que son discriminant (Delta) soit = 0.
Delta = [4(2+k)]² - 4*5*(k² + 2k + (15/4))
Delta = 0 -->
16(2+k)² - 20*(k² + 2k + (15/4)) = 0
En simplifiant par 4 -->
4(2+k)² - 5(k² + 2k + (15/4)) = 0
4*(4+4k+k²) -5k² - 10k - 75/4 = 0
-k² + 6k + 16 - (75/4) = 0
Equation du second degré dont les solutions sont k = 1/2 et k = 11/2
...
-----
Oui mais comment passes-tu de :
5x² - 4x(2+k) + k² + 2k + (15/4) = 0
à :
Delta = [4(2+k)]² - 4*5*(k² + 2k + (15/4))
ah j'ai compris ok mais en fait c'est
5x² - [4x(2+k)] + [k² + 2k + (15/4)]=0
Delta = [4x(2+k)]² - 4x5x[k²+2k+(15/4)]
C'est juste ca ?
Oui j'avais compris ^^ mais j'ai mis du temps ^^
la droite d'équation
Delta1=-2x+(11/2)--> ne vas pas avec le dessin
Delta2=-2x+(1/2)
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