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Niveau seconde
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Droites avec équations

Posté par
Dark693 26-07-18 à 15:10

Bonjour,

J'ai un exercice à faire : où il nous dit que le Plan (P) est rapporté à un repère orthonormé (O ; I ; J) . A tout réel m , on associe  les deux droites \left(D_{m} \right)
et \left(D'_{m} \right) d'équations:

\left(D_{m} \right) : (m + 1)x  - (m - 1)y - (m+1) = 0

\left(D'_{m} \right) : (m + 2)x - my - m = 0

1) Déterminer et construire les droites : (D_{1}) , (D_{2}) , (D'_{-2})  et (D'_{-1}).

Pour D_{1} j'ai tout d'abord remplacé m par 1 :

\left(D_{1} \right) : (1 + 1)x  - (1 - 1)y - (1+1) = 0

2x  - 2 = 0
2x = 2
x = 1

Coordonnées  (1 ; 0)
Est-ce juste pour l'instant ou non ?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteurre : Droites avec équations 26-07-18 à 15:14

Bonjour

C'est juste, mais ce que tu as trouvé n'est pas une droite mais un point! Il faudrait le signaler.

Posté par
heklare : Droites avec équations 26-07-18 à 15:23

Bonjour

x=1 est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées

ce n'est pas un point

Posté par
Camélia Correcteurre : Droites avec équations 26-07-18 à 15:25

Merci hekla la chaleur ne me réussit pas!

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 26-07-18 à 15:58

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
heklare : Droites avec équations 26-07-18 à 16:40

vous avez la possibilité de vérifier en traçant ces droites  dans GeoGebra par exemple

de rien

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 18:55

Bonjour,

J'ai tracé  mes droites et j'aimerai savoir si c'est juste.

Droites avec équations

Posté par
ThierryPomare : Droites avec équations 27-07-18 à 19:23

Bonsoir,

Es-tu certain pour la droite D_1 ? Revois le tout !

Posté par
heklare : Droites avec équations 27-07-18 à 19:27

vous n'avez pas fait attention à ce qui a été écrit

la droite d'équation x=1 est parallèle à l'axe des ordonnées

D_2\  \ :\  3x-y-3=0 oui

D'_{-1} \ :\   x+y+1=0  non  coeff directeur négatif

D_{-2}\ : \  y+1=0 oui

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 19:28

Bonsoir,

D1 doit-être parallèle à l'axe des ordonnées.

Posté par
heklare : Droites avec équations 27-07-18 à 19:37

oui c'est ce qui a été dit

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 19:41

Et pour D'(-1) : y = -x - 1

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 19:51

Merci,
dans la question 2 on doit démontrer qu'il existe deux points A et B tels que A appartient à (Dm) et B appartient à (D'm)     ∀m appartient à R.
Comment puis-je déterminer A et B ?

Posté par
Priamre : Droites avec équations 27-07-18 à 20:10

Point A : ses coordonnées doivent vérifier l'équation de la droite (Dm quel que soit  m .
Tu pourras les déterminer après avoir mis cette équation sous la forme  mP + Q = 0 , P et Q étant fonction de  x  et  y .

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 20:16

Donc j'ai mx − my + x + y

Posté par
ThierryPomare : Droites avec équations 27-07-18 à 20:26

Pourquoi faire compliqué ? Si A appartient à D_m pour tout réel m, alors il appartient en particuliers aux droites D_1 et D_2 dont ont peut déterminer les coordonnées. Réciproquement, les coordonnées du point A vérifient (...)

Tu vois ?

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 20:38

A a pour coordonnées (1;0) Si je résous les équations de la droite D1 et D2.

Posté par
heklare : Droites avec équations 27-07-18 à 20:42

je pense comme Priam
écrire l'équation de D_m  comme une équation en m

celle-ci doit avoir \R comme ensemble solution  ce qui impose que le coefficient de m soit 0 et le terme constant aussi

am+b=0 admet \R comme ensemble solution si et seulement si \begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}

le point A est-il indépendant du choix des droites choisies pour le déterminer ?

Posté par
heklare : Droites avec équations 27-07-18 à 20:46

oui  selon ce que l'on proposait mx+x-my+y-m-1=0

(x-y-1)m+x+y-1=0

par conséquent \begin{cases}x-y-1=0\\ x+y-1=0\end{cases}
en résolvant x=1 et y=0

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 20:50

Merci beaucoup pour votre aide à tous.

Posté par
ThierryPomare : Droites avec équations 27-07-18 à 20:52

@Hekla : Que penser si les coefficients de x et de y avait été des expressions plus complexes en fonction de m ?

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 21:12

Je dois déterminer m pour que la  droite (Dm) contienne le point  I(2;\beta), avec \beta \in R.  J'ai trouvé m = \frac{b + 1}{b - 1}

Posté par
heklare : Droites avec équations 27-07-18 à 21:18

d'accord

(x-y-1)m+x+y-1=0

(2-\beta-1)m+2+\beta-1=0

m=\dfrac{-1-\beta}{1-\beta}=\dfrac{1+\beta}{\beta-1}

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 27-07-18 à 21:39

Merci beaucoup

Posté par
mathchimre : Droites avec équations 28-07-18 à 21:28

Bonsoir Dark,

J'ai regardé ton grahique et j'aimerais savoir comment tu traces la droite ( D2)

Tu as fait un petit tiré sur l'axe des abscisses et j'ai vu que tu as fait une petite croix
qui a pour coordonnée (3;6)

Aurais-tu la gentillesse de m'expliquer comment tu as fait ?

Posté par
heklare : Droites avec équations 28-07-18 à 23:20

Bonsoir

pour tracer une droite on a besoin de 2 points  ou un point et le coefficient directeur de la droite

on a écrit d'abord l'équation de la droite 3x-y-3=0 ou y=3x-3

on donne une valeur à x et on calcule le y correspondant

si x=3 alors y=3\times 3-3=6

premier point (3 ,6)

on recommence pour un nouveau point

si x=-1 alors y=3\times (-1)-3=-6

deuxième point (-1,-6)

maintenant on peut tracer la droite

on peut vérifier au passage que la droite passe bien par le point (0, -3)

c'est ce choix  que Dark693 a fait en tirant un petit trait

mais ainsi il se prive d'une vérification possible

pour la précision du dessin il vaut mieux choisir les points les plus éloignés possible

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 28-07-18 à 23:20

Bonsoir Matchim,

J'ai refais mon graphique , je vais donc envoyer mon nouveau graphique par pièce-jointe.
Pour ce qu'il est due mes coordonnées , j'ai tout calculer à l'aide des formules . Les voici :

Pour (D1) :                                                                                                                                                                      
m = 1  donc  (m + 1)x  - (m - 1)y - (m+1) = 0                                                                                                                ( 1 + 1)x  - (1 - 1)y (1+1) = 0                                                                                                                                       2x  - 2 = 0                                                                                                                                                                        
2x = 2                                                                                                                                                                                              x = 1                                                                                                                                                                                    Donc   (D1) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées .                                                                                                              Pour  (D2):                                                                                                                                                                                       m = 2  donc  (m + 1)x  - (m - 1)y - (m+1) = 0                                                                                                  
(2 + 1)x  - (2 - 1)y (2+1) = 0                                                                                                                                  
3x - y - 3 = 0                                                                                                                                                                         y = 3x - 3   .                                                                                                                                                                  Donc l'équation de ( D2) est  y = 3x - 3.                                                                                                            Pour  (D'-2):                                                                                                                                                                            m = -2  donc  (m + 2)x  - m * y - m = 0                                                                                                                              ((-2) + 2)x  - (-2) * y - (-2) = 0                                                                                                                                                                   2y +2 = 0                                                                                                                                                                    
2y = -2                                                                                                                                                                                     y = -1                                                                                                                                                                            
Pour  (D'-1):                                                                                                                                                                     m = -1  donc  (m + 2)x  - m * y - m = 0                                                                                                             ((-1) + 2)x  - (-1) * y - (-1) = 0                                                                                                                                                                                                                                                            y = -x - 1 .                                                                                                                                                                           Donc l'équation de ( D'-1) est  y = -x  - 1.


J'enverrai demain mon graphique.

Merci de votre compréhension

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 28-07-18 à 23:22

Bonsoir Hekla,

J'ai trouvé mes points à l'aide des formules , j'ai préféré  alterner mes chiffres positifs avec des chiffres négatifs.

Posté par
heklare : Droites avec équations 28-07-18 à 23:29

j'ai mal vu le tracé de D_2

vous aviez bien pris les mêmes points que moi

le tiret  marque l'ordonnée à l'origine  donc c'est bien une vérification

entièrement d'accord de prendre un point  d'abscisse positive et une d'abscisse négative  pour une tracer une droite non parallèle à l'axe des ordonnées

il est préférable de dire  en utilisant l'équation de la droite que les formules

Posté par
heklare : Droites avec équations 28-07-18 à 23:39

copie du message de Dark693 23 :20 car très peu lisible


Bonsoir Matchim,

J'ai refais mon graphique , je vais donc envoyer mon nouveau graphique par pièce-jointe.
Pour ce qu'il est due mes coordonnées , j'ai tout calculer à l'aide des formules . Les voici :

Pour (D1) :                                                                                                                                                                      
m = 1  donc  (m + 1)x  - (m - 1)y - (m+1) = 0      
   ( 1 + 1)x  - (1 - 1)y (1+1) = 0      
   2x  - 2 = 0                                                                                                                                                                        
2x = 2                
  x = 1                  
Donc   (D1) est une droite parallèle à l'axe des ordonnées .  
      
   Pour  (D2):    
m = 2  donc  (m + 1)x  - (m - 1)y - (m+1) = 0                                                                                                  
(2 + 1)x  - (2 - 1)y (2+1) = 0                                                                                                                                  
3x - y - 3 = 0  
  y= 3x - 3   .  
  Donc l'équation de ( D2) est  y = 3x - 3.    

    Pour  (D'-2):      
m = -2  donc  (m + 2)x  - m * y - m = 0        
  ((-2) + 2)x  - (-2) * y - (-2) = 0        
  2y +2 = 0                                                                                                                                                                    
2y = -2              
  y = -1    

                                                                                                                                                                      
Pour  (D'-1):      
   m = -1  donc  (m + 2)x  - m * y - m = 0      
((-1) + 2)x  - (-1) * y - (-1) = 0    
y = -x - 1 .          
  Donc l'équation de ( D'-1) est  y = -x  - 1.


J'enverrai demain mon graphique.

Merci de votre compréhension

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 10:32

Bonjour ,

Je suis désolé , à chaque fois que j'écris un message tout se décale.

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 10:45

Bonjour,

Voici mon graphique en pièce-jointe.

Droites avec équations

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 11:11

il y a deux erreurs dans votre graphique


vous avez tracé la droite d'équation x=-1 or D_1   a pour équation  x=1

vous avez tracé la droite d'équation y=1 or D_{-2}   a pour équation  y=-1

cela laisse supposer que vous avez confondu axe des abscisses et axe des ordonnées

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 11:24

Est-ce juste maintenant ?

Droites avec équations

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 11:29

il n'y a pas de commentaires

la verte a bien pour équation x=1
la bleue y=-1

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 11:32

Oui désolée ,  la verte à  bien pour équation  x = 1 et y = -1.

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 11:39

le dessin

Droites avec équations

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 11:57

Oui, c'est le même graphique que j'ai fait sur ma feuille.  J'ai essayé d'utiliser geogebra pour la première fois mais je ne pense pas que c'est fait pour moi.

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 12:02

Dans la suite de l'exercice on nous demande de démontrer que pour tout  m  \epsilon \\ R ,  (D_{m}) et (D'_{m} sont sécantes et donner en fonction de m , les coordonnées de leur point d'intersection I_{m} .

Je sais que des droites sont sécantes lorsque les coefficients directeur ne sont pas égaux.

m \neq m'.

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 12:14

je n'avais pas dit le contraire  j'ai joint le dessin pour résumer les différentes figures

il faut persévérer pour utiliser GeoGebra une aide ? voir ici

d'accord  mais il va falloir changer la notation  car m est déjà utilisé

d\  \ : ax+by=c \quad d'\ \ : a'x+b'y=c'

d et d' sont parallèles si et seulement si ab'-ba'=0


si vous ne connaissez pas  mettez les équations de droites sous la forme  y=ax+b

Posté par
mathchimre : Droites avec équations 29-07-18 à 14:01

Bonjour Heckla, bonjour DarK  983

j'apprécie beaucoup votre réponse hier soir, que je ne vois seulement maintenant
donc merci à tous les deux
et ce, d'autant plus qu'il s'agit d'un sujet dont je ne suis pas l'auteur, aussi j'avais quand même hésité à le faire mais j'avais envie de comprendre...
Je n'avais pas bien compris comment Dark avait tracé la droite (D2) sur le premier graphique : celui qui a été fait à la main.

J'ai le réflexe d'utiliser Geogebra dés que j'ai une droite ( ou une parabole ) à tracer et s'il s'agit de faire un tracé à la main, je procède comme ceci :

pour tracer une droite d'équation y = ax + b

si a > 0.

ax + b > 0
<=>
ax > -b
<=>
x > -b/a  ( car la division par un nombre positif ne change pas l'ordre)

et je sais que f(x) > 0 si x > -b/a



ainsi pour f(x) = 3x - 3

3x - 3 > 0
<=>
3x > 3
<=>
x > 1

je place un point d'abscisse 1 sur l'axe des abscisses et je sais que f(x) >0 pour tous les x situés après le point d'abscisse x = 1
( cela me donne une idée du tracé de la droite )

ensuite je cherche un autre point pour tracer la droite

je ne sais pas ce qu'en pense Heckla ?

Puis- je avoir votre avis ?

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 14:25

Pourmathchim
vous prenez comme premier point systématiquement celui qui a pour ordonnée 0

pourquoi pas  mais il n'est parfois pas facile à placer

exemple
si vous avez y=8x-3 alors comme premier point vous prendriez \left(\dfrac{3}{8}~;~0\right)

ce qui n'est pas évident à placer

tandis qu'en prenant x=1 on aura y=5 donc le point (1~;~5)  beaucoup plus facile à placer

et bien entendu un autre point

en résumé pourquoi pas mais ne pas en faire une obligation  il faut s'adapter au contexte

Posté par
mathchimre : Droites avec équations 29-07-18 à 14:42

Bonjour Heckla

y = 8x - 3

8 > 0 donc a > 0 , alors la fonction est croissante

8x - 3 > 0
<=>
8x > 3
<=>
x > 8 / 3

je sais que f(x) > 0 si  x > 8/3

j'ai une fraction et il est moins facile de placer 8/3 = 2,66  \approx 2,7

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 14:53

c'est bien ce que je dis

si c'est simple pourquoi pas

si c'est un peu compliqué autant prendre un autre point

Posté par
mathchimre : Droites avec équations 29-07-18 à 15:06

J'ai encore besoin de conseils
il faut prendre un point d'abscisse positif et un point d'abscisse négatif pour tracer la droite (D1) qui est parallèle à l'axe des ordonnées

ou il le faire pour toutes les équations : (D' -2) : y = -1 et pour (D'-1) y = - x - 1

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 15:10

Bonjour hekla,

Pour trouver mon équation et mon coefficient directeur au lieu de prendre D_{m} et D'_{m}. Cela ne serai pas plus simple de prendre les droites de mon graphique. Où suis-je obligé de travailler avec  D_{m} et D'_{m} ?

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 15:13

Je connais mon  m =m=\dfrac{-1-\beta}{1-\beta}=\dfrac{1+\beta}{\beta-1}.
Donc je dois résoudre l'équation de D_{m}  et  D'_{m}.

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 15:20

pourmathchim

pour construire D_1 tous les points ont même abscisse à savoir 1
par conséquent  il est impossible de prendre une autre abscisse que 1

pour D'_{-2} les points ont tous pour ordonnée -2  c'est une droite parallèle à l'axe des abscisses  quelle que soit l'abscisse que vous prenez son ordonnée est -2

pour D'_{-1}  vous pouvez choisir une abscisse positive et une négative

pourDark693

vous êtes obligé de prendre \mathcal{D}_m et \mathcal{D}'_m puisque l'on demande pour tout m

sur votre graphique vous n'avez pas le même indice  donc vous ne pouvez pas dire que \mathcal{D}_1 et \mathcal{D}'_1 sont sécantes

Posté par
heklare : Droites avec équations 29-07-18 à 15:23

Dark693  15:13

non  le m ainsi défini assure que la droite \mathcal{D}_m  passe par le point (2~;~\beta)

Posté par
Dark693re : Droites avec équations 29-07-18 à 15:28

Bonjour Matchim,

Pour D1, on sait que pour chaque point x = 1 . Le point d'abscisse vaut 1 . Car il est parallèle à l'axe des ordonnées. Tu ne pourras pas avoir d'abscisse négatif.

J'espère que cela  pourras-t-aider ?

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