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droites concourantes dans un triangle - merci pour votre aide
Bonsoir à tous,
Nous commençons le cours sur les triangles semblables, et j'ai un
exercice d'un DM à rendre pour la semaine prochaine qui me pose
problème. Je ne pense pas qu'il ait quelque chose à voir avec
le cours sur les triangles semblables, mais...
VOici l'énoncé :
ABC est un triangle. A', B', C' les milieux respectifs
de BC, AC et AB. M le projeté orthogonal de A sur B'C'.
N le projeté orthogonal de B sur A'C'. P le projeté orthogonal
de C sur A'B'.
Il me faut démontrer que les droites AM, BN et CP sont concourantes.
J'ai fait la figure, et en effet, on constate que les droites AM, BN et
CP sont concourantes en un même point, le point M. Je me souviens
de quelques théorèmes sur les droites concourantes, l'un d'entre
eux disait :
Trois droites sont concourantes si le point d'intersection de deux
d'entre elles appartient à la troisième.
Cela me semble correspondre à la figure que j'aie fait.
Mais énoncer le théorème tel quel ne doit pas être suffisant ? Comment
puis-je vraiment le démontrer ?
Pouvez-vous me donner quelques pistes ?
Je bloque vraiment sur cette question, cela fait un moment que je cherche.
Merci d'avance pour vos explications.
A'C' joint les milieux de 2 cotés du triangle ABC.
A'C' est donc // au troisième coté AC du triangle (parfois appelé théorème
des milieux).
BN étant perpendiculaire A'C' est donc aussi perpendiculaire
à AC.
Donc BN est sur la direction de la hauteur issue de B du triangle ABC.
---
De la même manière, on montre que:
AM est sur la direction de la hauteur issue de A du triangle ABC.
et que
CP est sur la direction de la hauteur issue de C du triangle ABC.
---
Les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point appelé
l'orthocentre du triangle.
-> AM, BN et CP sont concourantes au point orthocentre du triangle ABC.
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Sauf distraction.
Vraiment JP, vous êtes un Boss des Maths !
Cela fait plusieurs fois que vous m'aidez dans différents exercices,
tout est toujours très clair au niveau de vos explications, je ne
sais pas comment vous remercier.
En tout cas, c'est vraiment sympa de passer du temps à aider les
élèves en difficulté qui veulent s'en sortir.
A bientôt et bonne soirée.
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